Συναρτησιακή εξίσωση (νε)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε f(f(n))+f(n)=2n+2012 ,

για κάθε $n \in \mathbb{N}.$

Antonis_Z · #2

Σταθεροποιώ ένα

.
Θεωρώ την ακολουθία (a_n)

για την οποία a_0=n

και $a_{k+1}=f(a_k)$ .
Η αρχική σχέση δίνει $a_{k+2}+a_{k+1}=2a_k+2012$ .
Για $k\rightarrow k+1$ έχω $a_{k+3}+a_{k+2}=2a_{k+1}+2012$ .
Με αφαίρεση των δύο τελευταίων παίρνω $a_{k+3}-3a_{k+1}+2a_k=0$ .
Από τη χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκω ότι a_k=c_1k+c_2+c_3(-2)^k

.
Επειδή

πρέπει

,γιατί διαφορετικά για

αρκετά μεγάλο(άρτιο ή περιττό,ανάλογα με το πρόσημο του c_3

) το

θα έπαιρνε αρνητικές τιμές.Οπότε a_k=c_1k+c_2

.
Για $k=0\implies c_2=n$ .
Για $k=1\implies f(n)=n+c_1$ .
Πρέπει $c_1\in Z$ ,αφού $f(n)-n\in Z$ .
Αντικαθιστώντας στην αρχική προκύπτει ότι $c_1=\frac{2012}{3}$ ,το οποίο δεν ανήκει στους ακεραίους.
Επομένως,καταλήγουμε σε άτοπο,πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Συναρτησιακή εξίσωση (νε)

Συναρτησιακή εξίσωση (νε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (νε)

Μέλη σε σύνδεση