Διαιρετότητα και ανισότητα!

#1

Δίνονται οι ακέραιοι $\displaystyle{a>b>1,}$ ώστε $\displaystyle{a+b|ab+1}$ και $\displaystyle{a-b|ab-1.}$ Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{a<\sqrt{3}b.}$

$\displaystyle{\rule{380pt}{1pt}}$

Από την Πολωνία

#2

Παρατηρούμε πρώτα ότι $\displaystyle{\left( {a,b} \right) = 1.}$ Πράγματι, αν $\displaystyle{\left( {a,b} \right) = d,}$ τότε

$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {d|a + b \Rightarrow d|ab + 1}\\ {d|ab} \end{array}} \right\} \Rightarrow d|1 \Rightarrow d = 1}$ .

Επομένως, είναι $\displaystyle{\left( {a + b,a - b} \right) \in \left\{ {1,2} \right\}.}$ Πράγματι, αν $\displaystyle{D = \left( {a + b,a - b} \right),}$ τότε

$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {D|a + b}\\ {D|a - b} \end{array}} \right\} \Rightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {D|2a}\\ {D|2b} \end{array}} \right\} \Rightarrow D|2\left( {a,b} \right) = 2}$ .

Επίσης, είναι:

$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b|b\left( {a + b} \right)}\\ {a + b|ab + 1} \end{array}} \right\} \Rightarrow a + b|b\left( {a + b} \right) - \left( {ab + 1} \right) = {b^2} - 1}$

και

$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {a - b|ab - 1}\\ {a - b|b\left( {a - b} \right)} \end{array}} \right\} \Rightarrow a + b|ab - 1 - b\left( {a - b} \right) = {b^2} - 1}$ ,

οπότε

$\displaystyle{{a^2} - {b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)|2\left( {{b^2} - 1} \right)}$

και άρα

$\displaystyle{{a^2} - {b^2} \le 2\left( {{b^2} - 1} \right) \Rightarrow {a^2} \le 3{b^2} - 2 < 3{b^2} \Rightarrow a < \sqrt 3 b,}$

που είναι το ζητούμενο.

Διαιρετότητα και ανισότητα!

Διαιρετότητα και ανισότητα!

Re: Διαιρετότητα και ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση