Ανισότητα!

#1

Αν $\displaystyle{x,y,z\geq 0}$ με $\displaystyle{x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{x+y+z\geq 3\sqrt[3]{2xyz}.}$

#2

Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $\displaystyle{z = \min \left\{ {x,y,z} \right\}.}$ Τότε, από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, είναι:

$\displaystyle{\frac{{x + y + z}}{3} = \frac{{\dfrac{{x + y - z}}{2} + \dfrac{{x + y - z}}{2} + 2z}}{3} \ge \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{x + y - z}}{2}} \right)}^2}2z}} = \sqrt[3]{{\frac{{{{\left( {x + y - z} \right)}^2}z}}{2}}} = }$

$\displaystyle{ = \sqrt[3]{{\frac{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy - 2yz - 2zx} \right)z}}{2}}} = \sqrt[3]{{\frac{{\left( {2xy + 2yz + 2zx + 2xy - 2yz - 2zx} \right)z}}{2}}} = \sqrt[3]{{\frac{{4xyz}}{2}}} = \sqrt[3]{{2xyz}}}$

και το συμπέρασμα έπεται.

Ανισότητα!

Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση