Συναρτησιακή εξίσωση (νδ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε 1+f(f(x)+y) = f(x^2+y)+2f(x)+2y ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

$\bf \color{blue} 1+f(f(x)+y) = f(x^2+y)+2(f(x)+y),\quad (1) ,$

Έστω f(0)=a

$\bullet x=y=0 \quad (1)\Rightarrow \boxed{1+f(a)=3a}$

$\bullet y:=-f(x) \quad(1)\Rightarrow \boxed{f(x^2-f(x))=a+1}$

$\bullet y:=y-f(x) \quad(1)\Rightarrow 1+f(y)=f(x^2+y-f(x))+2y,\quad (2)$

$\bullet y:=a \quad (2)\Rightarrow 1+f(a)=f(x^2+a-f(x))+2a\Rightarrow \boxed{ f(x^2+a-f(x))=a}$

$\bullet x=0\quad(1)\Rightarrow 1+f(a+y)=f(y)+2(a+y),\quad (3),\quad f(-a)=1+a,\quad (4)$

$\bullet y:=x^2-f(x)\quad (3) \Rightarrow 1+f(a+x^2-f(x))=f(x^2-f(x))+2(a+x^2-f(x))\Rightarrow$

$f(x)=x^2+a,\quad f(-a)=a^2+a,\quad (5)$

$\bullet (4),(5)\Rightarrow a=1 \quad \eta \quad a=-1$

Για $a=1\quad f(x)=x^2+1,x\in \mathbb R$ ικανοποιεί την αρχική.

Για $a=-1\quad f(x)=x^2-1,x\in \mathbb R$ δεν ικανοποιεί την αρχική.

#3

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Άλλη λύση:

Θα δείξουμε ότι $f(a)=f(b)\implies a^2=b^2.$
Πράγματι, αν

τότε θέτοντας διαδοχικά x=a

και

θα πάρουμε f(a^2+y)=f(b^2+y)

δηλαδή η

είναι περιοδική με περίοδο T=|a^2-b^2|.

Θέτοντας τώρα $y\to y+T$ θα πάρουμε T=0

ή

Θέτοντας $y\to f(y)$ έχουμε 1+f(f(x)+f(y)) = f(x^2+f(y))+2f(x)+2f(y)

οπότε και

και άρα

Από την προηγούμενη παρατήρηση έχουμε $(x^2+f(y))^2=(y^2+f(x))^2 \ (*).$

Για y=0

η

δίνει $f^2(x)=x^4+2f(0)x^2+f^2(0) \ (**).$
Έτσι, η (*)

γράφεται

όπου για

θα είναι

όπου $a=f(1)-f(0), \ b=f(0).$

Για να ικανοποιείται η (**)

θα πρέπει
είτε f(x)=x^2+f(0),

για κάθε

που είναι λύση της αρχικής αν-ν f(0)=1,

είτε

για κάθε

που δεν είναι λύση της αρχικής.

Συναρτησιακή εξίσωση (νδ)

Συναρτησιακή εξίσωση (νδ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (νδ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (νδ)

Μέλη σε σύνδεση