Συναρτησιακή εξίσωση (ξα)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(y)+x^2+1)+2x=y+(f(x+1))^2 ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Μετά από πολλές προσπάθειες...

Έστω f(0)=a,f(1)=b

$x=0: (1)\Rightarrow f(f(y)+1)=y+b^2$

$y=f(y)+1 : (1)\Rightarrow f(y+b^2+x^2+1)+2x=f(y)+1+f^2(x+1) \quad (2)$

$x=0:(2)\Rightarrow f(y+b^2+1)=f(y)+1+b^2$

$(2)\Rightarrow f(y+b^2+x^2+1)+2x+b^2=f(y+b^2+1)+f^2(x+1)\Rightarrow$

$f(z+x^2)+2x+b^2=f(z)+f^2(x+1)\quad (3)$

$z=0:(3)\Rightarrow f(x^2)+2x+b^2=a+f^2(x+1)\quad (4)$

$(3),(4)\Rightarrow f(z+x^2)=f(z)+f(x^2)-a\quad (5)$

$\begin {cases} x=-1: (4)\Rightarrow b-2+b^2=a+a^2\\ x=1: (4)\Rightarrow b+2+b^2=a+f^2(2)\\ x=z=1: (5)\Rightarrow f(2)=2b-a \end{cases}\stackrel{b\neq 0}\Longrightarrow b=1\quad ,a=0$

Άρα f(0)=0,f(1)=1

$\begin{cases}(3)\Rightarrow f(z+x^2)+2x+1=f(z)+f^2(x+1)\quad (6)\\(4)\Rightarrow f(x^2)+2x+1=f^2(x+1)\quad (7)\\(5)\Rightarrow f(z+x^2)=f(z)+f(x^2)\quad (8)\quad ,f(-x^2)=-f(x^2)(\bigstar)\end{cases}$

$x=1:(8)\Rightarrow f(z+1)=f(z)+1$

$(6)\Rightarrow f(z)+f(x^2)+2x+1=f(z)+(f(x)+1)^2\Rightarrow$ $f(x^2)+2x=f^2(x)+2f(x)\Rightarrow$

$f(x^2)=f^2(x)+2f(x)-2x \quad (9)$

$(9)\Rightarrow f(x^2)=f^2(-x)+2f(-x)+2x\stackrel{(\bigstar),(9)}\Longrightarrow f(x)=x,x\in \mathbb R$ ικανοποιεί την αρχική.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=580308

Συναρτησιακή εξίσωση (ξα)

Συναρτησιακή εξίσωση (ξα)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ξα)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ξα)

Μέλη σε σύνδεση