Απλή διαιρετότητα!

#1

Να βρείτε τους θετικούς ακεραίους $\displaystyle{a,b,}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{(a^b+b)|(a^{2b}+2b).}$

#2

matha έγραψε:Να βρείτε τους θετικούς ακεραίους $\displaystyle{a,b,}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{(a^b+b)|(a^{2b}+2b).}$

$a^{2b}+2b=a^{2b}-b^2+b^2+2b=(a^b-b)(a^b+b)+b^2+b.$

Ισοδυναμεί με το να βρούμε τους θετικούς ακεραίους $\displaystyle{a,b,}$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{(a^b+b)|(b^2+2b).}$

Για a=1

πρέπει

και εφόσον b^2+2b=(b+1)^2-1,

αρκεί

που είναι αδύνατο.

Για a=2

και

είναι αληθές. Για b=2,3,4

δεν έχουμε λύση ενώ για $b\geq 5$ με επαγωγή εύκολα δείχνουμε ότι 2^b+b>b^2+2b

Για $a\geq 3$ πάλι με επαγωγή μπορούμε να αποδείξουμε ότι a^b+b>b^2+2b

για κάθε $b\geq 1.$

Άρα (a,b)=(2,1).

Απλή διαιρετότητα!

Απλή διαιρετότητα!

Re: Απλή διαιρετότητα!

Μέλη σε σύνδεση