Παλιά και κλασική ανυπαρξία!

#1

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{f(f(x))=x^2-2~\text{\gr για κάθε}~x\in \mathbb{R}.}$

Δεν θυμάμαι αν έχει ξανασυζητηθεί στο .

#2

Είχε προταθεί παλιότερα στον Ευκλείδη Β΄ (αν θυμάμαι καλά)....

Θέτουμε $\displaystyle{g\left( x \right) = {x^2} - 2}$ και παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{g\left( x \right) = x \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 1,2} \right\},}$

$\displaystyle{g\left( {g\left( x \right)} \right) = x \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 1,2,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}.}$

Θέτουμε, για ευκολία, $\displaystyle{\alpha = - 1,}$ $\displaystyle{\beta = 2,}$ $\displaystyle{{\gamma = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}}}$ και $\displaystyle{{\delta = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}}.}$

Δείχνουμε πρώτα ότι $g\left( \gamma \right)=\delta$ και $g\left( \delta \right)=\gamma$ .

Πράγματι, έστω ότι $g\left( \gamma \right)=\kappa \in \mathbb{R}$ . Τότε, είναι

$\gamma =\left( g\circ g \right)\left( \gamma \right)=g\left( g\left( \gamma \right) \right)=g\left( \kappa \right)$

και άρα

$\left( g\circ g \right)\left( \kappa \right)=g\left( g\left( \kappa \right) \right)=g\left( \gamma \right)=\kappa$ ,

δηλαδή το $\kappa$ είναι λύση της εξίσωσης $\left( g\circ g \right)\left( x \right)=x$ , οπότε $\kappa \in \left\{ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \right\}$ .

$\bullet$ Αν $\kappa =\alpha$ , τότε $\alpha =g\left( \alpha \right)=g\left( \kappa \right)=\gamma$ , άτοπο.

$\bullet$ Αν $\kappa =\beta$ , τότε $\beta =g\left( \beta \right)=g\left( \kappa \right)=\gamma$ , άτοπο.

$\bullet$ Αν $\kappa =\gamma$ , τότε και το $\gamma$ είναι λύση της εξίσωσης $g\left( x \right)=x$ , οπότε $\gamma \in \left\{ \alpha ,\beta \right\}$ , άτοπο.

Επομένως, είναι $\kappa =\delta$ , οπότε $g\left( \gamma \right)=\delta$ . Όμοια δείχνουμε ότι $g\left( \delta \right)=\gamma$ .

Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $f\circ f=g$ . Παρατηρούμε ότι ισχύει

$f\circ g=f\circ f\circ f=g\circ f$ .

Έχουμε τώρα ότι

$f\left( \alpha \right)=f\left( g\left( \alpha \right) \right)=g\left( f\left( \alpha \right) \right)$ ,

δηλαδή το $f\left( \alpha \right)$ είναι λύση της εξίσωσης $g\left( x \right)=x$ , οπότε $f\left( \alpha \right)\in \left\{ \alpha ,\beta \right\}$ .

Όμοια, βρίσκουμε ότι $f\left( \beta \right)\in \left\{ \alpha ,\beta \right\}$ .

Επίσης, έχουμε ότι

$f\left( \gamma \right)=f\left( g\left( g\left( \gamma \right) \right) \right)=g\left( g\left( f\left( \gamma \right) \right) \right)$ ,

δηλαδή το $f\left( \gamma \right)$ είναι λύση της εξίσωσης $g\left( g\left( x \right) \right)=x$ , οπότε $f\left( \gamma \right)\in \left\{ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \right\}$ .

$\bullet$ Αν $f\left( \gamma \right)=\alpha$ , τότε $f\left( \alpha \right)=f\left( f\left( \gamma \right) \right)=g\left( \gamma \right)=\delta$ , άτοπο.

$\bullet$ Αν $f\left( \gamma \right)=\beta$ , τότε $f\left( \beta \right)=f\left( f\left( \gamma \right) \right)=g\left( \gamma \right)=\delta$ , άτοπο.

$\bullet$ Αν $f\left( \gamma \right)=\gamma$ , τότε $\gamma =f\left( f\left( \gamma \right) \right)=g\left( \gamma \right)$ , οπότε $\gamma \in \left\{ \alpha ,\beta \right\}$ , άτοπο.

Επομένως, είναι $f\left( \gamma \right)=\delta$ . Αλλά τότε, θα είναι

$\delta =g\left( \gamma \right)=f\left( f\left( \gamma \right) \right)=f\left( \delta \right)$ ,

και άρα

$g\left( \delta \right)=f\left( f\left( \delta \right) \right)=f\left( \delta \right)=\delta$ ,

οπότε $\delta \in \left\{ \alpha ,\beta \right\}$ , άτοπο.

Ώστε, δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία να ισχύει $f\circ f=g$ .

Παλιά και κλασική ανυπαρξία!

Παλιά και κλασική ανυπαρξία!

Re: Παλιά και κλασική ανυπαρξία!

Μέλη σε σύνδεση