Στο R...

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες, ώστε

$\displaystyle{ f(x+y+f^2(x))=x^2+f(x)+f(y) , \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}. }$

Λάμπρος Μπαλός · #2

$f(x+y+f^{2}(x))=x^{2}+f(x)+f(y)$ (1)

Η (1) για $y=-f^{2}(x)$ $\rightarrow$ $f(x)=x^{2}+f(x)+f(-f^{2}(x))\Leftrightarrow f(-f^{2}(x))=-x^{2}$ (2)

Η (2) για $x=-f^{2}(x)$ $\rightarrow$ $f(-f^{2}(-f^{2}(x)))=-f^{4}(x)\Leftrightarrow f(-x^{4})=-f^{4}(x)$ (3)

Η (3) για x=-x

$\rightarrow$ $f(-x^{4})=-f^{4}(-x)\Leftrightarrow f^{4}(x)=f^{4}(-x)$ (4)

Ας υπολογίσουμε το f(0)

Η (3) για

$\rightarrow$ $f(0)=-f^{4}(0)\Leftrightarrow$ f(0)=0

ή

- Αν

, τότε η (2) για x=0

δίνει

και η (4) για χ=-1

δίνει

Άρα η (1) για x=1

$\rightarrow$ f(y+1)=f(y)+1

και η (1) για x=-1

$\rightarrow$ f(y-1)=f(y)+1

Οπότε

η οποία για y=2

δίνει

. Όμως η (2) για x=3

δίνει

που είναι άτοπο.

Άρα f(0)=0

.

* Έστω τώρα $a,b\geq 0$ με $f(a)=f(b)\Rightarrow f^{2}(a)=f^{2}(b)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -f^{2}(a)=-f^{2}(b)\Rightarrow f(-f^{2}(a))=f(-f^{2}(b))$ , λόγω της (2) , $-a^{2}=-b^{2}\Leftrightarrow a=b$

Η

λοιπόν είναι 1-1

στο $[0,+\propto )$ .

H (1) για x=-y

$\rightarrow$ $f(f^{2}(-y))=y^{2}+f(-y)+f(y)$ , η οποία για y=-y

γίνεται :

$f(f^{2}(y))=y^{2}+f(y)+f(-y)$ . Από τις δύο τελευταίες προκύπτει ότι : $f(f^{2}(-y))=f(f^{2}(y))$ και καθώς τα

$f^{2}(-y)$ και $f^{2}(y)$ είναι ποσότητες μη αρνητικές, θα είναι $f^{2}(y)=f^{2}(-y)$ (5)

Η (1) για χ=-χ

και

$\rightarrow$ $f(y+f^{2}(-x))=x^{2}+f(-x)+f(y+x)\Leftrightarrow f(y+f^{2}(x))=x^{2}+f(-x)+f(y+x)$ $(\bullet )$

Η (1) για y=y-x

$\rightarrow$ $f(y+f^{2}(x))=x^{2}+f(x)+f(y+x)$ $(\bullet \bullet )$

Από $(\bullet )$ , $(\bullet \bullet )$ $\Rightarrow f(x)+f(y-x)=f(-x)+f(y+x)$ $(\bullet \bullet \bullet )$

Η $(\bullet \bullet \bullet )$ για y=x

$\rightarrow$ f(x)=f(-x)+f(2x)

$(\oplus )$

Η $(\bullet \bullet \bullet )$ για y=-x

$\rightarrow$ f(x)+f(-2x)=f(-x)

$(\oplus \oplus )$

Από $(\oplus )$ , $(\oplus \oplus )$ $\Rightarrow f(-x)+f(2x)=f(-x)-f(-2x)$ , που για $x=\frac{x}{2}$ δίνει f(-x)=-f(x)

Περιττή λοιπόν η συνάρτηση και επιπλέον η $(\oplus )$ $\Rightarrow f(2x)=2f(x)$

Η (1) για x=-x

και

$\rightarrow$ $f(x+y+f^{2}(x))=x^{2}-f(x)+f(2x+y)$

Άρα $f(2x+y)-f(x)+x^{2}=x^{2}+f(x)+f(y)\Leftrightarrow f(2x+y)=f(2x)+f(y)\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow f(2x+y)=f(2x)+f(y)$ .

Η

σαφώς "επί" συνάρτηση, επομένως f(k+m)=f(k)+f(m)

για κάθε

Ας υπολογίσουμε το f(1)

Η (1) για $x=-f^{2}(1)$ και y=-1

$\rightarrow$ $f(-f^{2}(1)-1+f^{2}(-f^{2}(1)))=f^{4}(1)+f(-1)+f(-f^{2}(1))\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(-f^{2}(1)-1+1)=f^{4}(1)-f(1)+f(-f^{2}(1))\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(1)(f^{3}(1)-1)=0\Leftrightarrow$ . Άρα f(1)=0

ή

.

Όμως η (2) για x=1

δίνει : $f(-f^{2}(1))=-1$ . Αν f(1)=0

καταλήγουμε σε άτοπο. Επομένως f(1)=1

και

.

Η (1) για x=x+1

και

$\rightarrow$ $f(x+(f(x)+1)^{2})=x^{2}+2x+1+f(x)+1-1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(x+f^{2}(x)+2f(x)+1)=x^{2}+2x+1+f(x)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(x)+f(f^{2}(x))+f(2f(x))+f(1)=x^{2}+2x+1+f(x)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2f(f(x))=2x\Leftrightarrow f(f(x))=x$ . Η

"1-1" και "επί".

H (1) για y=0

$\rightarrow$ $f(x+f^{2}(x))=x^{2}+f(x)\Rightarrow f(f(x+f^{2}(x)))=f(x^{2}+f(x))\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x+f^{2}(x)=f(x^{2})+f(f(x))\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f^{2}(x)=f(x^{2})$ , η οποία για $x=\sqrt{x}\geq 0$ δίνει :

$f^{2}(\sqrt{x})=f(x)$ , που σημαίνει ότι για κάθε x>0

η

είναι μη αρνητική. Άρα είναι Cauchy, άρα f(x)=cx

.

Καθώς f(1)=1

θα είναι

. Άρα

, που επαληθεύει την (1).

Προφανώς υπάρχει πιο σύντομη λύση, δεν ασχολήθηκα παραπάνω, οπότε θα χαιρόμουν να δω κάτι.

#3

Ωραία, Λάμπρο!

Πάνω κάτω έτσι είναι και η δική μου λύση.
Αφού δείξουμε ότι f(x+y)=f(x)+f(y),

μπορούμε να προχωρήσουμε παρατηρώντας ότι, από την (3) και την περιττή συμμετρία, $\displaystyle{f(x^4)=f^4(x),}$
δηλαδή $f(x)\geq 0$ όταν $x\geq 0...$

#4

Μια πολύ όμορφη λύση στο δυσκολότερο πρόβλημα

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες, ώστε $\displaystyle{ f(x+y+f^2(x))=x^2+f(x)+f(y) , \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}^+. }$

υπάρχει εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1092855

Στο R...

Στο R...

Re: Στο R...

Re: Στο R...

Re: Στο R...

Μέλη σε σύνδεση