Σκαλί- σκαλί

#1

-- Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(f(x)+xf(y))=xy+f(x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$
$\displaystyle{\Bbb{R}^+=(0,+\infty)}$

-- Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(f(x)+xf(y))=xy+f(x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$
$\displaystyle{\Bbb{R}^+=(0,+\infty)}$

-- Να προσδιορίσετε όλες τις επί συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(f(x)+xf(y))=xy+f(x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$
$\displaystyle{\Bbb{R}^+=(0,+\infty)}$

Μπορούμε να απαντήσουμε και στο γενικότερο; (δυστυχώς, δε γνωρίζω...)

-- Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(f(x)+xf(y))=xy+f(x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$
$\displaystyle{\Bbb{R}^+=(0,+\infty)}$

#2

Επαναφορά!

Μπορούμε να απαντήσουμε σε όλα τα ερωτήματα!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Πάμε στο τελευταίο

P(1,x): f(f(1)+f(x))=x+f(1)

.
$P(1,f(1)+f(x)): f(x+2f(1))=f(x)+2f(1)\,\,(*)$
$P(\dfrac{2f(1)}{x^2},f(x)+xf(x)):\dfrac{2f(1)}{x^2}(f(x)+xf(x))+f(\dfrac{2f(1)}{x^2})=$
$= f(f(\dfrac{2f(1)}{x^2})+\dfrac{2f(1)}{x^2}f(f(x)+xf(x)))\overset{P(x,x)}{=} f(f(\dfrac{2f(1)}{x^2})+\dfrac{2f(1)}{x^2}(x^2+f(x)))=$
$\displaystyle \overset{(*)}{=} f(f(\dfrac{2f(1)}{x^2})+\dfrac{2f(1)}{x^2}f(x))+2f(1)\overset{P(\dfrac{2f(1)}{x^2},x)}{=}\dfrac{2f(1)}{x^2}\cdot x}+f(\dfrac{2f(1)}{x^2})+2f(1)\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \dfrac{2f(1)}{x^2}f(x)(x+1)=2f(1)(\dfrac{1}{x}+1)\Leftrightarrow f(x)=x$ η οποια και επαληθεύει.

Σκαλί- σκαλί

Σκαλί- σκαλί

Re: Σκαλί- σκαλί

Re: Σκαλί- σκαλί

Μέλη σε σύνδεση