Ακέραιο μέρος

#1

Καλημέρα σε όλους. Το πρόβλημα που ακολουθεί είναι ένα πρόβλημα που προτάθηκε στον Εθνικό Διαγωνισμό της Κροατίας το 1996. Το αναρτώ γιατι μου άρεσε ως ιδέα
Αν a,b

είναι δύο θετικοί άρρητοι αριθμοί με $\frac{1}{a} +\frac{1}{b}=1$ και $A=\left\{[na]/n\in N \right\}, B=\left\{[nb]/n\in N \right\}$ Να αποδείξετε ότι $A \cup B=N$ και $A \cap B= \varnothing$ . Όπου

το σύνολο των φυσικών αριθμών και [na]

σημαίνει το ακέραιο μέρος του

Καραδήμας · #2

Για κάθε $k\in {\mathbb N}$ υπάρχουν $\lfloor k/a\rfloor$ πολλπλάσια του

μικρότερα από

και $\lfloor k/b\rfloor$ πολλαπλάσια του

μικρότερα από

. Αυτό γιατί οι αριθμοί της μορφής

και

δεν είναι ποτέ ακέραιοι. Από την $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$ είναι $\displaystyle{k=\frac{k}{a}+\frac{k}{b}>\lfloor k/a\rfloor +\lfloor k/b\rfloor >\frac{k}{a}-1+\frac{k}{b}-1=k-2}$ άρα $\lfloor k/a\rfloor +\lfloor k/b\rfloor =k-1$ . Πάει να πει, ακριβώς $\lfloor k/a\rfloor +\lfloor k/b\rfloor =k-1$ αριθμοί της μορφής

ή

είναι μικρότεροι από

. Όμοια, ακριβώς

αριθμοί της μορφής

ή

είναι μικρότεροι από k+1

. Έτσι, μέσα στο (k,k+1)

υπάρχει ακριβώς ένας

ή ακριβώς ένας

.

#3

Αυτό είναι γνωστό ως Θεώρημα Beatty:

- Putnam 1959, B6. http://www.mat.itu.edu.tr/gungor/IMO/ww ... utn59.html

(Το βιβλίο των Gleason, Greenwood, Kelly έχει ενδιαφέρουσες παραπομπές στη σελίδα 514.)

Κάποια παλιότερα θέματα που μπορούν να λυθούν με χρήση του Θ. Beatty:

- viewtopic.php?f=63&t=3099&p=16855&hilit=beatty#p16855

- Πρόβλημα 3 της Δ.Μ.Ο. του 1978, σελ. 19, στο βιβλίο

M. Klamkin, International Mathematical Olympiads 1978-1985, MAA,

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

Μία λύση στο ίδιο μήκος με εκείνη του κ. Καραδήμα, αλλά πιο αναλυτικά :
Κατ' αρχάς για να δείξουμε ότι $A \cap B= \varnothing$ , αρκεί να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχουν φυσικοί k, m, n

τέτοιοι ώστε k<na<k+1

και

. Έστω πως ισχύει το αντίθετο, τότε $\frac {n}{k+1}<\frac {1}{a}<\frac {n}{k}$ και $\frac {m}{k+1}<\frac {1}{b}<\frac {m}{k}$ , άρα $\frac {n+m}{k+1}<1<\frac {n+m}{k}$ , δηλαδή k<m+n<k+1

, άτοπο.
Για να αποδειχθεί ότι $A \cup B=N$ , αρκεί να δειχθεί ότι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός

, ώστε στο διάστημα (k,k+1)

να μη περιέχεται πολλαπλάσιο της μορφής

και της μορφής

, όπου

φυσικοί αριθμοί.
Έστω πως ισχύει το αντίθετο. Τότε επειδή $na \rightarrow \infty$ και $mb \rightarrow \infty$ , καθώς $n,m \rightarrow \infty$ , θα υπάρχουν $n_{0}, m_{0}$ , ώστε $n_{0}a>k+1$ , $m_{0}b>k+1$ και ${(n_{0}-1)a<k, (m_{0}-1)b<k$ . Συνεπώς $\frac {m_{0}+n_{0}-2}{k}<\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=1$ και $\frac {n_{0}+m_{0}}{k+1}>\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=1$ , δηλαδή $n_{0}+m_{0}-2<k<n_{0}+m_{0}-1$ , άτοπο.
Φιλικά

Ακέραιο μέρος

Ακέραιο μέρος

Re: Ακέραιο μέρος

Re: Ακέραιο μέρος

Re: Ακέραιο μέρος

Μέλη σε σύνδεση