Ευρεση ακεραιων

dement · #1

Καλημερα σε ολους.

Να αποδειχθει οτι υπαρχουν $a,b,c \in \mathbb{Z} \cap [-10^6, 10^6]$ , οχι ολοι μηδεν, τετοιοι ωστε $|a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}| \leq 10^{-11}$

Φυσικα η λυση a=b=c=0

δεν ειναι αποδεκτη - ευχαριστω τον Αλεξανδρο και το Σεραφειμ για την επισημανση.

Δημητρης Σκουτερης

#2

Χωρίζουμε το [0,1]

σε $10^{11}$ ίσα διαστήματα. Για κάθε $x = b\sqrt{2} + c\sqrt{3}$ με $b,c \in \mathbb{Z} \cap [0,\lambda \cdot 10^6]$ κοιτάμε σε πιο διάστημα πέφτει το δεκαδικό μέρος του

. (Με $0 < \lambda < 1$ το οποίο θα επιλεγεί αργότερα.)

Αν $\lambda^2 > 1/10$ τότε από περιστεροφωλιά υπάρχουν $(b,c) \neq (b{'},c{'})$ με το δεκαδικό μέρος των

και

να πέφτει στο ίδιο διάστημα. (Θέλει λίγη προσοχή αν ο $\lambda \cdot 10^6$ δεν είναι ακέραιος αλλά είμαστε εντάξει επειδή το 0 ανήκει στο διάστημα και άρα πράγματι υπάρχουν τουλάχιστον $\lambda \cdot 10^6$ ακέραιοι στο $[0,\lambda \cdot 10^6]$

Άρα $|a + (b-b')\sqrt{2} + (c-c')\sqrt{3}| \leqslant 10^{-11}$ για κάποιο $a \in \mathbb{Z}$ . Αλλά $|a| \leqslant \lambda (\sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot 10^6$

Άρα είμαστε εντάξει αρκεί να υπάρχει $\lambda$ που να ικανοποιεί $\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{10}} < \lambda < \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}}$ . Αρκεί λοιπόν να ελέγξουμε ότι $10 > 5 + 2\sqrt{6}$ το οποίο ισχύει αφού 6 < 25/4

.

#3

Και μια (πρόσφατη Putnam Mathematical competition 2006) που της μοιάζει και λύνεται με τον ίδιο τρόπο.
Για να υπάρχει λοιπόν,

Αποδείξτε ότι για κάθε σύνολο $X=\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\}, n$ πραγματικών αριθμών,
υπάρχει μη κενό υποσύνολο του και ακέραιος , τέτοια ώστε

$\displaystyle{\Big|m+\sum_{s\in S}s\Big|\leq\frac{1}{n+1}.}$

Νίκος Κατσίπης

Ilias_Zad · #4

Demetres έγραψε:Χωρίζουμε το σε $10^{11}$ ίσα διαστήματα. Για κάθε $x = b\sqrt{2} + c\sqrt{3}$ με $b,c \in \mathbb{Z} \cap [0,\lambda \cdot 10^6]$ κοιτάμε σε πιο διάστημα πέφτει το δεκαδικό μέρος του . (Με $0 < \lambda < 1$ το οποίο θα επιλεγεί αργότερα.)

Αν $\lambda^2 > 1/10$ τότε από περιστεροφωλιά υπάρχουν $(b,c) \neq (b{'},c{'})$ με το δεκαδικό μέρος των και να πέφτει στο ίδιο διάστημα. (Θέλει λίγη προσοχή αν ο $\lambda \cdot 10^6$ δεν είναι ακέραιος αλλά είμαστε εντάξει επειδή το 0 ανήκει στο διάστημα και άρα πράγματι υπάρχουν τουλάχιστον $\lambda \cdot 10^6$ ακέραιοι στο $[0,\lambda \cdot 10^6]$

Άρα $|a + (b-b')\sqrt{2} + (c-c')\sqrt{3}| \leqslant 10^{-11}$ για κάποιο $a \in \mathbb{Z}$ . Αλλά $|a| \leqslant \lambda (\sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot 10^6$

Άρα είμαστε εντάξει αρκεί να υπάρχει $\lambda$ που να ικανοποιεί $\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{10}} < \lambda < \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}}$ . Αρκεί λοιπόν να ελέγξουμε ότι $10 > 5 + 2\sqrt{6}$ το οποίο ισχύει αφού .

Παρα πολυ ωραια λυση και ασκηση!!

dement · #5

Ωραια λυση Δημητρη! Η δικη μου ειναι ως εξης :

Θεωρουμε ως πιθανες τιμες των ακεραιων A,B,C

απο $-5 \cdot 10^5$ ως $5 \cdot 10^5$ , εξαιρουμενου του μηδενος. Καθε τριαδα παραγει ενα μοναδικο αριθμο $A + B\sqrt{2} + C\sqrt{3}$ και οι παραγομενοι αριθμοι βρισκονται σε ενα διαστημα μηκους $10^6 \cdot (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})$ . Αφου υπαρχουν $10^{18}$ πιθανες τριαδες, οπωσδηποτε δυο απο αυτες (εστω (A_1, B_1, C_1), (A_2, B_2, C_2)

) θα δωσουν αριθμους με απολυτη διαφορα μικροτερη η ιση του $\displaystyle \frac{10^6 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{10^{18}} < 10^{-11}$ .

Ετσι, θετοντας a = A_1 - A_2, b = B_1 - B_2, c = C_1 - C_2

εχουμε τους αριθμους μας.

Δημητρης Σκουτερης

Ευρεση ακεραιων

Ευρεση ακεραιων

Re: Ευρεση ακεραιων

Re: Ευρεση ακεραιων

Re: Ευρεση ακεραιων

Re: Ευρεση ακεραιων

Μέλη σε σύνδεση