Σύνολο σημείων του επιπέδου

#1

Αλέξανδρε ζήτησες ένα θέμα από τους παλιούς διαγωνισμούς της ΕΜΕ που μοιάζει με αυτό που έθεσε ο Papel : "Στοιχεία συνόλων" Προς το παρόν να ένα:
Έστω

ένα υποσύνολο του $\mathbb{R}^2$ για το οποίο ισχύουν:
1) Υπάρχει $(a,b)\in S$ με $ab\neq0$ και $a\neq b$
2) Αν $(x,y)\in S$ και $(a,b)\in S$ , τότε $(xa,yb)\in S$ και $(x+a,y+b)\in S$
3) Αν $(x,y)\in S$ και $k\in \mathbb{R}$ , τότε $(kx,ky)\in S$
Να αποδείξετε ότι $S=\mathbb{R}^2$
(Νομίζω τέθηκε το 1984)
Φιλικά

#2

Υπόδειξη: Αρκεί να δείξετε ότι $(0,1),(1,0) \in S$ .

#3

Demetres έγραψε:Υπόδειξη: Αρκεί να δείξετε ότι $(0,1),(1,0) \in S$ .

Δημήτρη σωστά, γιατί αν $(1,0),(0,1)\in S$ , τότε $(x,y)=(x,0)+(0,y)\in S$
Ας το αποδείξουμε λοιπόν
$(a,b)\in S \Rightarrow (a^2,b^2), (-ab,-b^2) \in S \Rightarrow (a^2-ab,0) \in S \Rightarrow (a(a-b),0) \Rightarrow (\frac{a(a-b)}{a(a-b)},0)\in S \Rightarrow (1,0)\in S$
Ομοίως και το $(0,1)\in S$
Φιλικά

#4

s.kap έγραψε:Αλέξανδρε ζήτησες ένα θέμα από τους παλιούς διαγωνισμούς της ΕΜΕ που μοιάζει με αυτό που έθεσε ο Papel : "Στοιχεία συνόλων" Προς το παρόν να ένα:
Έστω ένα υποσύνολο του $\mathbb{R}^2$ για το οποίο ισχύουν:
1) Υπάρχει $(a,b)\in S$ με $ab\neq0$ και $a\neq b$
2) Αν $(x,y)\in S$ και $(a,b)\in S$ , τότε $(xa,yb)\in S$ και $(x+a,y+b)\in S$
3) Αν $(x,y)\in S$ και $k\in \mathbb{R}$ , τότε $(kx,ky)\in S$
Να αποδείξετε ότι $S=\mathbb{R}^2$
(Νομίζω τέθηκε το 1984)
Φιλικά

Πιο πολύ σχόλιο παρά λύση. Τι αναγκάζει το

να γίνει το $\mathbb{R}^2$ ; Από την ιδιότητα 2 (δεύτερο σκέλος) και την ιδιότητα 3) το

είναι διανυσματικός υπόχωρος του $\mathbb{R}^2$ .
Τώρα για το $(a,b)\in S$ της ιδιότητας 1) έχουμε ότι και $\left( a^{2},b^{2}\right) \in S$ . Αλλά
$\displaystyle{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ {{a^2}} & {{b^2}} \\ \end{array}} \right| = ab\left( {b - a} \right) \ne 0}$
Επομένως ο υπόχωρος

περιέχοντας δύο γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία έχει διάσταση 2 άρα συμπίπτει με τον $\mathbb{R}^2$ .
Μαυρογιάννης

#5

Νίκο παρα πολύ ωραία σκέψη!!!! Κατά τη γνώμη μου δεν αποτελεί απλώς λύση, αλλά εξαιρετική λύση.
Φιλικά

Σύνολο σημείων του επιπέδου

Σύνολο σημείων του επιπέδου

Re: Σύνολο σημείων του επιπέδου

Re: Σύνολο σημείων του επιπέδου

Re: Σύνολο σημείων του επιπέδου

Re: Σύνολο σημείων του επιπέδου

Μέλη σε σύνδεση