Πολυώνυμα

#1

Καλησπέρα σε όλους
Ένα όμορφο (έτσι μου φαίνεται εμένα τουλάχιστον) πρόβλημα:
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα p(x)

με πραγματικούς συντελεστές, για τα οποία p(1)=1

και
$e^{p(x)}=p(e^x), \forall x\in \mathbb{R}$
Φιλικά

#2

s.kap έγραψε:Καλησπέρα σε όλους
Ένα όμορφο (έτσι μου φαίνεται εμένα τουλάχιστον) πρόβλημα:
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές, για τα οποία και
$e^{p(x)}=p(e^x), \forall x\in \mathbb{R}$
Φιλικά

Πολύ ενδιαφέρον.

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Άλλος τρόπος:

Από την υπόθεση, βλέπουμε ότι πρέπει $\displaystyle{p(0)=0}$ , κι άρα $\displaystyle{p(x)=xq(x)}$ για κάποιο πολυώνυμο $\displaystyle{q(x)\in \mathbb{R}[x]}$ .

Τότε είναι

$\displaystyle{e^{x(q(x)-1)}=q(e^x)}$ .

Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι $\displaystyle{q(a_n)=1}$ για κάθε $\displaystyle{n\geq 0}$ ,

όπου η ακολουθία $\displaystyle{\{a_n\}_{n\geq 0}}$ ορίζεται ώς εξής:

$\displaystyle{a_0=1}$ , $\displaystyle{a_{n+1}=e^{a_n}}$ για $\displaystyle{n=0,1,2,\dots}$ .

Συνεπώς, $\displaystyle{q(x)=1}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ , κι άρα $\displaystyle{p(x)=x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

Και η δική μου λύση μοιάζει πολύ με αυτή του Αχιλλέα:
Θεωρώ την ακολουθία a_n

με

και $a_{n+1}=e^{a_n}$ . Η ακολουθία αυτή είναι γνησίως αύξουσα, γιατί $a_{n+1}=e^{a_n}>a_n$
Αφ' ετέρου έχουμε p(a_1)=p(1)=1=a_1

. Αν

, τότε $p(a_{n+1})=p(e^{a_n})=e^{p(a_n)}=e^{a_n}=a_{n+1}$ , άρα $p(a_n)=a_n,\forall n$ . Συνεπώς το πολυώνυμο p(x)-x

, έχει ρίζες όλους τους όρους της a_n

, άρα $p(x)-x=0\Rightarrow p(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$
Φιλικά

#5

Μια διαφορετική απάντηση έξω από τα σχολικά/ολυμπιακά πλαίσια.

Αν ο Σπύρος μας έλεγε ότι η ισότητα ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{C}$ . Τότε τα πράγματα θα ήταν εύκολα. Αν $z \neq 0$ ήταν μια ρίζα του

θα υπήρχε $x \in \mathbb{C}$ ώστε e^x = z

και άρα $0 = p(z) = p(e^x) = e^{p(x)}$ , άτοπο. Άρα πρέπει p(x) = Cx^n

για κάποια $C \neq 0$ και $n \in \mathbb{N}$ και επειδή p(1) = 1

πρέπει

. Αλλά τότε $e^{x^n} = e^{nx}$ για κάθε $x \in \mathbb{C}$ και άρα πρέπει n=1

.

Μπορούμε από τις πληροφορίες που μας έδωσε ο Σπύρος να συμπεράνουμε ότι η ισότητα ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{C}$ ; Η απάντηση είναι ναι και είναι άμεση συνέπεια του identity theorem (πως λέγεται στα ελληνικά;) της μιγαδικής ανάλυσης.

#6

Demetres έγραψε: Μπορούμε από τις πληροφορίες που μας έδωσε ο Σπύρος να συμπεράνουμε ότι η ισότητα ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{C}$ ; Η απάντηση είναι ναι και είναι άμεση συνέπεια του identity theorem (πως λέγεται στα ελληνικά;) της μιγαδικής ανάλυσης.

Δημήτρη καλησπέρα. Το θεώρημα που αναφέρεις το βρήκα στο βιβλίο "Θεωρία Μιγαδικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής" του Σ. Νεγρεπόντη (Αρχαία έκδοση, συλλεκτικής αξίας του 1977, αλλά νομίζω πως και στις νεότερες εκδόσεις δεν θα έχει αλλάξει την ονομασία), ως " Αρχή της αναλυτικής συνεχίσεως".
Φιλικά

Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Re: Πολυώνυμα

Re: Πολυώνυμα

Re: Πολυώνυμα

Re: Πολυώνυμα

Re: Πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση