Συναρτησιακή

mathxl · #1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f: R-> R

με την ιδιότητα $f(y^{4}+f(x)-x)) = (f(y))^{4}$ για κάθε x,y πραγματικούς αριθμούς

ΥΓ: Επειδή έχει ικανό αριθμό επισκέψεων δίνω τις λύσεις σε hide

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Dreamkiller · #2

Έχω βρει μια λύση αλλά αμφιβάλλω για την αυστηρότητά της.

Αν η

είναι σταθερή, τότε εύκολα παίρνουμε ότι f(x)=1

ή

.
Αν η

δεν είναι σταθερή, θέτοντας στη δοθείσα όπου

το

παίρνουμε

, όπου

. Ψάχνουμε επομένως μη σταθερή συνάρτηση

τέτοια ώστε η fo(f-I)

να είναι σταθερή. Ας θεωρήσουμε ότι η

είναι σταθερή κατά τμήματα (ακόμα και οι 1-1 συναρτήσεις μπορούν να θεωρηθούν εκφυλισμένες περιπτώσεις σταθερών κατά τμήματα συναρτήσεων), έστω δηλαδή
f(x)= x_1

αν $x \in A_1$ , x_2

αν $x \in A_2$ και λοιπά (εδώ θέλει πολλαπλό τύπο αλλά δυσκολεύομαι με το latex). Τότε (f-I)(x)=x_1-x

αν $x \in A_1$ , x_2-x

αν $x \in A_2$ και λοιπά. Για να είναι σταθερή η fo(f-I)

τότε πρέπει ή όλα τα x_i -x

να ανήκουν σε ένα A_k

, δηλαδή το A_k

να ταυτίζεται με το

, οπότε η

είναι σταθερή ή όλα τα x_1-x

να γίνουν ένα, οπότε η f-I

είναι σταθερή. Αν θέσουμε λοιπόν f(x)=x+k

, παίρνουμε εύκολα k=0

.

Formal proof failure.

#3

Dreamkiller έγραψε:Έχω βρει μια λύση αλλά αμφιβάλλω για την αυστηρότητά της.
<...>

αν $x \in A_1$ , αν $x \in A_2$ και λοιπά (εδώ θέλει πολλαπλό τύπο αλλά δυσκολεύομαι με το latex). Τότε αν $x \in A_1$ , αν $x \in A_2$ και λοιπά. Για να είναι σταθερή η τότε πρέπει ή όλα τα να ανήκουν σε ένα , δηλαδή το να ταυτίζεται με το , οπότε η είναι σταθερή ή όλα τα να γίνουν ένα, οπότε η είναι σταθερή. Αν θέσουμε λοιπόν , παίρνουμε εύκολα .

Formal proof failure.

Χμμμμμ Dreamkiller, από ότι βλέπω η λύση έχει πολλά προβλήματα. Ίσως το ουσιαστικότερο είναι το σημειωμένο με κόκκινο:
Εδώ πρέπει να θυμηθούμε ότι το x δεν είναι οποιοδήποτε, αλλά επιλέγεται από το A_1

Επίσης δεν καταλαβαίνω τι θα πει (το πράσινο παραπάνω) " όλα τα x_1-x

να γίνουν ένα"

Μ.

Ανδρέας Πούλος · #4

Υποθέτω στο ίδιο κομβικό σημείο έχουν καταλήξει όλοι οι ενδιαφερόμενοι - που δεν έχουν δώσει ακόμη πλήρη απάντηση.
Αν δηλαδή για μία συνάρτηση f ισχύει f(f(x) - x) = c για κάθε x πραγματικό και c μη αρνητικό,
τι συμπέρασμα προκύπτει για τη συνάρτηση f;
Είναι μία σταθερή, είναι η ταυτοτική ή μπορεί και κάποια άλλη;
Ο mathxl ισχυρίζεται ότι είναι μόνο αυτές οι δύο περιπτώσεις.
Κάτι θα ξέρει που δεν το βρήκαμε οι υπόλοιποι.
Σε κάθε περίπτωση είναι μία ενδιαφέρουσα πρόκληση.
Συνεχίζουμε λοιπόν.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Nick1990 · #5

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Υποθέτω στο ίδιο κομβικό σημείο έχουν καταλήξει όλοι οι ενδιαφερόμενοι - που δεν έχουν δώσει ακόμη πλήρη απάντηση.
Αν δηλαδή για μία συνάρτηση f ισχύει f(f(x) - x) = c για κάθε x πραγματικό και c μη αρνητικό,
τι συμπέρασμα προκύπτει για τη συνάρτηση f;
Είναι μία σταθερή, είναι η ταυτοτική ή μπορεί και κάποια άλλη;
Ο mathxl ισχυρίζεται ότι είναι μόνο αυτές οι δύο περιπτώσεις.
Κάτι θα ξέρει που δεν το βρήκαμε οι υπόλοιποι.
Σε κάθε περίπτωση είναι μία ενδιαφέρουσα πρόκληση.
Συνεχίζουμε λοιπόν.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ισως η παραπανω (που ειναι ειδικη περιπτωση για y=0) να εχει οντως και αλλες λυσεις, οχι ομως και η αρχικη, διοτι νομιζω πως μια συναρτηση που ικανοποιει την ειδικη περιπτωση δεν ικανοποιει υποχρεωτικα και την γενικοτερη, εκτως και αν μπορουμε να αποδειξουμε με καποιο τροπο την ισοδυναμια των δυο εξισωσεων.

Νικος

Dreamkiller · #6

Έστω, λοιπόν, μια συνάρτηση f τέτοια ώστε (πολλαπλός τύπος) f(x)=x_1

, αν $x \in A_1$ , x_2

αν $x \in A_2$ , ..., x_n

αν $x\in A_n$ , με $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{A_i}=R$ και ανά δύο ξένα μεταξύ τους. Τότε (πολλαπλός τύπος) f(x)-x=x_1-x

, αν $x \in A_1$ , x_2 -x

, αν $x \in A_2, ..., x_n - x$ , αν $x \in A_n$ . Τότε f(f(x)-x) = x_1

αν $x \in$ $\left\{x \in R: x_1-x \in A_1}\right\}$ , x_2

αν $x \in \left\{x \in R: x_2-x \in A_2}\right\}$ ..., x_n

αν $x \in \left \{x \in R: x_n-x \in A_n}\right\}$ . Για να είναι η fo(f-I)

σταθερή πρέπει:
α) x_k-x=x_j-x

, απ' όπου παίρνουμε ότι x_k=x_j

οπότε η

είναι σταθερή
β)ένα από τα τμήματα του πεδίου ορισμού της fo(f-I)

να ταυτίζεται με το

, να έχουμε δηλαδή ότι για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό το σύνολο λύσεων της $a-x \in A$ να ταυτίζεται με το

, με

κάποιον πραγματικό και

γνήσιο υποσύνολο του

. Τότε υπάρχει πραγματικός

που δεν ανήκει στο

. Αλλά τότε ο αριθμός a-(a-b)=b

δεν ανήκει στο

αλλά ανήκει στο

, οπότε δεν γίνεται το σύνολο λύσεων της $a-x \in R$ να είναι το

. Άρα τίποτα σ' αυτήν την περίπτωση.
γ) η f(x)-x

να είναι σταθερή, απ' όπου παίρνουμε ότι f(x)=x

.

Πώς ακριβώς βάζω πολλαπλό τύπο στο Latex;
Ελπίζω επίσης τώρα να διόρθωσα τα προηγούμενα λάθη.

S.E.Louridas · #7

Ας μου επιτραπεί, με την ευκαιρία αυτή να συστήσω σε εκείνους που ενδιαφέρονται για προσδιορισμό συναρτήσεων μέσω συναρτησιακών εξισώσεων, να ασχοληθούν με την κλάση των συναρτησιακών εξισώσεων της μορφής:
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},f\left( {g\left( x \right) + y + f\left( y \right)} \right) = ag\left( {f\left( x \right)} \right) + by,$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x,y, όταν α,b πραγματικές σταθερές.Η μελέτη τους στο γενικό αυτό 'γίγνεσθαι' είναι φοβερά χρήσιμη.

S.E.Louridas

#8

Dreamkiller έγραψε: <...> Για να είναι η σταθερή πρέπει:
α) , απ' όπου παίρνουμε ότι οπότε η είναι σταθερή

<...> Ελπίζω επίσης τώρα να διόρθωσα τα προηγούμενα λάθη.

Χμμμ Dreamkiller, η απόδειξη έχει (πολλά) προβλήματα και επαναλαμβάνει τα ίδια λάθη όπως πρίν.

Το ουσιαστικότερο είναι ότι παίρνεις το χ και ως σταθερά και ως μεταβλητή. Για να γίνω κατανοητός, ας ονομάσουμε A, B, ... αυτά που ονομάζεις A_1, A_2, ...

και ας συμβολίσουμε το τυπικό τους στοιχείο ως α, β, ... αντίστοιχα.

Τώρα, αν a στο Α, και b στο Β ισχύει $f(a) - a = x_1 - a \in A, f(b) - b = x_2 - b\in B$ . Για να είναι σταθερή πρέπει x_1 - a = x_2 - b

αλλά δεν έγραψες αυτό. Ξαφνικά άλλαξες τα a, b σε μεταβλητές που τις συμβόλισες με το ίδιο γράμμα, x. Οπότε συμπεραίνεις εσφαλμένα ότι x_1 - x = x_2 - x

.

Ένα δεύτερο σφάλμα που κάνεις είναι ο κυκλικός συλλογισμός που σημείωσα με κόκκινο: Από την μία λαμβάνεις ότι η f είναι σταθερή (το χρησιμοποιείς όταν γράφεις την ισότητα x_1 - x = x_2 - x

) για να καταλήξεις ότι είναι σταθερή. Μα αφού την πήρες σταθερή, τι πάμε να δείξουμε;

Ελπίζω τα παραπάνω να διασαφηνίζουν την κατάσταση.

Ας δώσω μία υπόδειξη για την λύση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mathxl · #9

Για όσους θέλουν να δουν την λύση από τον pco εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=330377

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση