ανισότητα με απόλυτα

#1

Να δειχθεί $|1+x|+|1+y|+|1+xy| \geq |x|+|y|$ για όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y)

.

Πότε ισχύει η ισότητα;

hsiodos · #2

Μια λύση μπορούμε να δώσουμε διακρίνοντας περιπτώσεις.

$\displaystyle{\left| {\,1 + x\,} \right| + \left| {\,1 + y\,} \right| + \left| {\,1 + xy\,} \right| \ge \,\,\left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right|\,\,\,\,(1)}$

α) Εύκολα βρίσκουμε ότι η (1) ισχύει σαν γνήσια ανισότητα αν $\displaystyle{xy = 0}$ ή αν $\displaystyle{\,x > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y > 0}$

β) Αν x , y ετερόσημοι π.χ αν $\displaystyle{x > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y < 0}$ τότε: $\displaystyle{ \left| {\,1 + x\,} \right| + \left| {\,1 + y\,} \right| + \left| {\,1 + xy\,} \right| = x + 1 + \left| {\,1 + y\,} \right| + \left| {\,1 + xy\,} \right| {\color{red} \geq } x + 1 - (y + 1) = \,\left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right|}$ δηλαδή η (1) ισχύει σαν γνήσια ανισότητα.

γ) Μένει η περίπτωση να είναι $\displaystyle{x < 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y < 0}$

$\displaystyle{ \bullet }$ Αν $\displaystyle{x = y = - 1}$ η (1) ισχύει σαν ισότητα. Με $\displaystyle{xy \ne 1}$ έχουμε ακόμα:

$\displaystyle{ \bullet }$ Αν $\displaystyle{x \le - 1\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y \le - 1}$ τότε: $\displaystyle{ \left| {\,1 + x\,} \right| + \left| {\,1 + y\,} \right| + \left| {\,1 + xy\,} \right| = - 1 - x - 1 - y + 1 + xy = - x - y + xy - 1 = \left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right| + xy - 1 > \left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right|}$ αφού $\displaystyle{xy - 1 > 0}$ .

$\displaystyle{ \bullet }$ Αν $\displaystyle{x \le - 1\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, - 1 \le y < 0}$ (ομοίως αν $\displaystyle{y \le - 1\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, - 1 \le x < 0 }$ ) , τότε:

$\displaystyle{ \left| {\,1 + x\,} \right| + \left| {\,1 + y\,} \right| + \left| {\,1 + xy\,} \right| = - 1 - x + 1 + y + 1 + xy = - x + y + 1 + xy = - x - y + y + y + 1 + xy }$ \displaystyle{\displaystyle{
= \left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right| + y + 1 + y(x + 1) > \left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right|\,\,\alpha \phi o\upsilon \,\,\,y + 1 > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y(x + 1) > 0}

\displaystyle{ \bullet }

\displaystyle{ - 1 \le x < 0\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\, - 1 \le y < 0} , τότε:

\displaystyle{\left| {\,1 + x\,} \right| + \left| {\,1 + y\,} \right| + \left| {\,1 + xy\,} \right| = 1 + x + 1 + y + 1 + xy = - x - y + (x + 1) + (y + 1) + x + y + 1 + xy}} $\displaystyle{ = \left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right| + (x + 1) + (y + 1) + (x + 1)(y + 1) > \left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right|\,\,\,\,\alpha \phi o\upsilon \,\,x + 1 > 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,y + 1 > 0}$

Επομένως η (1) ισχύει σαν γνήσια ανισότητα εκτός από την περίπτωση που $\displaystyle{x = y = - 1}$ οπότε ισχύει σαν ισότητα.

Γιώργος

Διόρθωση: Στην περίπτωση β) έχουμε μια περίπτωση ισότητας όταν: $\displaystyle{ \left| {\,y + 1\,} \right| = - (y + 1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left| {\,1 + xy\,} \right| = 0\,\,\,\delta \eta \lambda \alpha \delta \eta \,\,o\tau \alpha \nu \,\,\,y \le - 1\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = - \frac{1}{y}}$
Ευχαριστώ τον socrates για την υπόδειξη.

GMANS · #3

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ Σ7.pdf: (47.93 KiB) Μεταφορτώθηκε 102 φορές

#4

socrates έγραψε:Να δειχθεί $|1+x|+|1+y|+|1+xy| \geq |x|+|y|$ για όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών .

Πότε ισχύει η ισότητα;

Αρκεί να δείξουμε ότι $(|1+x|+|1+y|+|1+xy|)^2 \geq (|x|+|y|)^2$

Είναι

$\displaystyle{(|1+x|+|1+y|+|1+xy|)^2=$

$\left |1+x \right |^2+\left |1+y \right |^2+\left |1+xy \right |^2 +2\left |1+x \right |\left |1+y \right |+2|1+xy|(|1+x|+|1+y|) \geq }$

$\left |1+x \right |^2+\left |1+y \right |^2+\left |1+xy \right |^2 +2\left |1+x \right |\left |1+y \right |=$

$\left(|x|+|y|\right)^2+2(|1+x+y+xy|+1+x+y+xy)+(|xy|-1)^2\geq$

$\left(|x|+|y|\right)^2$

Ισότητα έχουμε όταν ( xy=-1

και $x+y\leq 0$ ) ή όταν x=y=-1.

ανισότητα με απόλυτα

ανισότητα με απόλυτα

Re: ανισότητα με απόλυτα

Re: ανισότητα με απόλυτα

Re: ανισότητα με απόλυτα

Μέλη σε σύνδεση