ανισότητα με απόλυτα
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
ανισότητα με απόλυτα
Να δειχθεί για όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών .
Πότε ισχύει η ισότητα;
Πότε ισχύει η ισότητα;
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: ανισότητα με απόλυτα
Μια λύση μπορούμε να δώσουμε διακρίνοντας περιπτώσεις.
α) Εύκολα βρίσκουμε ότι η (1) ισχύει σαν γνήσια ανισότητα αν ή αν
β) Αν x , y ετερόσημοι π.χ αν τότε: δηλαδή η (1) ισχύει σαν γνήσια ανισότητα.
γ) Μένει η περίπτωση να είναι
Αν η (1) ισχύει σαν ισότητα. Με έχουμε ακόμα:
Αν τότε: αφού .
Αν (ομοίως αν ) , τότε:
\displaystyle{\displaystyle{
= \left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right| + y + 1 + y(x + 1) > \left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right|\,\,\alpha \phi o\upsilon \,\,\,y + 1 > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y(x + 1) > 0}\displaystyle{ \bullet }\displaystyle{ - 1 \le x < 0\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\, - 1 \le y < 0}\displaystyle{\left| {\,1 + x\,} \right| + \left| {\,1 + y\,} \right| + \left| {\,1 + xy\,} \right| = 1 + x + 1 + y + 1 + xy = - x - y + (x + 1) + (y + 1) + x + y + 1 + xy}}
Επομένως η (1) ισχύει σαν γνήσια ανισότητα εκτός από την περίπτωση που οπότε ισχύει σαν ισότητα.
Γιώργος
Διόρθωση: Στην περίπτωση β) έχουμε μια περίπτωση ισότητας όταν:
Ευχαριστώ τον socrates για την υπόδειξη.
α) Εύκολα βρίσκουμε ότι η (1) ισχύει σαν γνήσια ανισότητα αν ή αν
β) Αν x , y ετερόσημοι π.χ αν τότε: δηλαδή η (1) ισχύει σαν γνήσια ανισότητα.
γ) Μένει η περίπτωση να είναι
Αν η (1) ισχύει σαν ισότητα. Με έχουμε ακόμα:
Αν τότε: αφού .
Αν (ομοίως αν ) , τότε:
\displaystyle{\displaystyle{
= \left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right| + y + 1 + y(x + 1) > \left| {\,x\,} \right| + \,\left| {\,y\,} \right|\,\,\alpha \phi o\upsilon \,\,\,y + 1 > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y(x + 1) > 0}\displaystyle{ \bullet }\displaystyle{ - 1 \le x < 0\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\, - 1 \le y < 0}\displaystyle{\left| {\,1 + x\,} \right| + \left| {\,1 + y\,} \right| + \left| {\,1 + xy\,} \right| = 1 + x + 1 + y + 1 + xy = - x - y + (x + 1) + (y + 1) + x + y + 1 + xy}}
Επομένως η (1) ισχύει σαν γνήσια ανισότητα εκτός από την περίπτωση που οπότε ισχύει σαν ισότητα.
Γιώργος
Διόρθωση: Στην περίπτωση β) έχουμε μια περίπτωση ισότητας όταν:
Ευχαριστώ τον socrates για την υπόδειξη.
τελευταία επεξεργασία από hsiodos σε Παρ Απρ 16, 2010 11:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Ροδόπουλος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: ανισότητα με απόλυτα
Αρκεί να δείξουμε ότιsocrates έγραψε:Να δειχθεί για όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών .
Πότε ισχύει η ισότητα;
Είναι
Ισότητα έχουμε όταν ( και ) ή όταν
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες