Εύρεση f

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Ψάχνοντας ένα παλιό βιβλίο του Μπαιλάκη ( 200 θέματα εξετάσεων 1995 ) , συνάντησα μία συναρτησιακή την οποία παραθέτω για τους λάτρεις του είδους ...

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f(0) = 1}$ και $\displaystyle{f(x + y) - f(x - y) \le {y^2} + y}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in R}$ . Να βρείτε την f .

Στο hide δίνω το αποτέλεσμα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Nick1990 · #2

Για $y \rightarrow -y$ και πολλαπλασιαζοντας με -1 προκειπτει:

$y^2 + y \geq -f(x-y) + f(x+y) \geq y - y^2$

Για δυο τυχαιους πραγματικους v > u

θετουμε $x \rightarrow \frac{u + v}{2}$ και μετα $y \rightarrow \frac{v - u}{2}$

Τοτε:

$\frac{1}{2} + \frac{v - u}{4} \geq \frac{f(v) - f(u)}{v - u} \geq \frac{1}{2} - \frac{v - u}{4}$ , v, u

: τυχαιοι πραγματικοι
Παιρνοντας $v \rightarrow u$ , προκειπτει:
$f'(u) = \frac{1}{2} \Rightarrow f(u) = \frac{u}{2} + k$ ,
και αφου f(0) = 1

, τελικα:
$f(u) = \frac{u}{2} + 1$

Ισως να μην ειναι αυτος ο σωστος φακελος. Το θεμα θα μπορουσε να ειναι θεμα Αναλυσης 1 σε εξετασεις ΑΕΙ η ακομα και Λυκειακο

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Nick1990 έγραψε:
Ισως να μην ειναι αυτος ο σωστος φακελος. Το θεμα θα μπορουσε να ειναι θεμα Αναλυσης 1 σε εξετασεις ΑΕΙ η ακομα και Λυκειακο

Νίκο , σου εύχομαι ολόψυχα να φτάσεις όσο ψηλά ονειρεύεσαι και η γενιά σου να μπορεί να διδάσκει στο αυριανό λύκειο αυτές τις ασκήσεις ...
Αν προλάβω να τις δω και θέμα σε πανελλήνιες το οποίο θα το γράψουν οι μαθητές μας , τότε απλά

από τώρα ...

Κώστας Παππέλης · #4

Τα όρια είναι λεπτά μεταξύ μιας δύσκολης λυκειακής και μιας εύκολης ολυμπιακής άσκησης. Η συγκεκριμένη άσκηση ανήκει εκεί ακριβώς. Θα ήταν απαράδεκτη για να μπει πανελλήνιες και εξίσου απαράδεκτη για να μπει σε κάποια Ολυμπιάδα. Δεν παύει όμως να είναι ωραίο θεματάκι με ωραίο τέχνασμα.

Α.Κυριακόπουλος · #5

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Ψάχνοντας ένα παλιό βιβλίο του Μπαιλάκη ( 200 θέματα εξετάσεων 1995 ) , συνάντησα μία συναρτησιακή την οποία παραθέτω για τους λάτρεις του είδους ...

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f(0) = 1}$ και $\displaystyle{f(x + y) - f(x - y) \le {y^2} + y}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in R}$ . Να βρείτε την f .

Nick1990 έγραψε:Για $y \rightarrow -y$ και πολλαπλασιαζοντας με -1 προκειπτει:

$y^2 + y \geq -f(x-y) + f(x+y) \geq y - y^2$

Για δυο τυχαιους πραγματικους θετουμε $x \rightarrow \frac{u + v}{2}$ και μετα $y \rightarrow \frac{v - u}{2}$

Τοτε:

$\frac{1}{2} + \frac{v - u}{4} \geq \frac{f(v) - f(u)}{v - u} \geq \frac{1}{2} - \frac{v - u}{4}$ , : τυχαιοι πραγματικοι
Παιρνοντας $v \rightarrow u$ , προκειπτει:
$f'(u) = \frac{1}{2} \Rightarrow f(u) = \frac{u}{2} + k$ ,
και αφου , τελικα:
$f(u) = \frac{u}{2} + 1$

Ισως να μην ειναι αυτος ο σωστος φακελος. Το θεμα θα μπορουσε να ειναι θεμα Αναλυσης 1 σε εξετασεις ΑΕΙ η ακομα και Λυκειακο

Αγαπητέ Νίκο.
Από που προκύπτει ότι η συνάρτηση που βρήκες πληροί τις δοσμένες συνθήκες και επομένως πώς ξέρεις ότι είναι η ζητούμενη;( Αφού δεν εργάζεσαι με ισοδυναμίες, ούτε εξετάζεις αν ισχύει το αντίστροφο).
Φιλικά.

Nick1990 · #6

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Αγαπητέ Νίκο.
Από που προκύπτει ότι η συνάρτηση που βρήκες πληροί τις δοσμένες συνθήκες και επομένως πώς ξέρεις ότι είναι η ζητούμενη;( Αφού δεν εργάζεσαι με ισοδυναμίες, ούτε εξετάζεις αν ισχύει το αντίστροφο).
Φιλικά.

Ειναι ευκολο να δουμε οτι αυτη η συναρτηση επαληθευει. Απο βιασυνη δεν το εγραψα, αλλα ειναι τετριμενο (δινει αμεσα $y^2 \geq 0$ ).

Edit: Κωστα τωρα ειδα τι γραφεις, εγω θα την θεωρουσα καλουτσικη για εναν ευκολο διαγωνισμο οπως ο Θαλης, και πολυ καλη για υποερωτημα 4ου θεματος πανελληνιων. Χρησημοποιει μονο σχολικες γνωσεις, ειναι στο πνευμα της σχολικης αναλυσης, και με τα δυο τεχνασματα (τη δημιουργια της διπλης ανισοτητας και την αντικατασταση που λογο του οτι το συστημα x+y=a, x-y=b

εχει παντα μοναδικη λυση, δημιουργει κλασμα που τινει σε παραγωγο) ξεφευγει απο τις μεθοδολογιες των φροντηστηριων, οποτε θα εξεταζε σε ενα αρκετα καλο επιπεδο την κριτικη ικανοτητα των μαθητων, και ελαχιστα την αποστηθηση μεθοδολογιων.

Α.Κυριακόπουλος · #7

Nick1990 έγραψε: Ειναι ευκολο να δουμε οτι αυτη η συναρτηση επαληθευει. Απο βιασυνη δεν το εγραψα, αλλα ειναι τετριμενο (δινει αμεσα $y^2 \geq 0$ ).

Αγαπητέ Νίκο.
Δεν έχει σημασία αν είναι εύκολο ή δύσκολο ( ακόμα και τετριμμένο,όπως γράφεις) να επαληθεύσουμε ότι η συνάρτηση που βρήκαμε πληροί τις δοσμένες συνθήκες, όταν δεν εργαζόμαστε με ισοδυναμίες. Η ουσία είναι ότι αν δεν το κάνουμε, δεν μπορούμε να πούμε ότι η συνάρτηση που βρήκαμε είναι η ζητούμενη, αφού υπάρχει περίπτωση να μην επαληθεύει τις δοσμένες συνθήκες ( οπότε βέβαια τέτοια συνάρτηση που ζητάμε δεν θα υπάρχει. βλ. και εδώ: viewtopic.php?f=67&t=1492 παράγραφος 3.2 ).

Φιλικά.

Nick1990 · #8

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
Nick1990 έγραψε: Ειναι ευκολο να δουμε οτι αυτη η συναρτηση επαληθευει. Απο βιασυνη δεν το εγραψα, αλλα ειναι τετριμενο (δινει αμεσα $y^2 \geq 0$ ).
Αγαπητέ Νίκο.
Δεν έχει σημασία αν είναι εύκολο ή δύσκολο ( ακόμα και τετριμμένο,όπως γράφεις) να επαληθεύσουμε ότι η συνάρτηση που βρήκαμε πληροί τις δοσμένες συνθήκες, όταν δεν εργαζόμαστε με ισοδυναμίες. Η ουσία είναι ότι αν δεν το κάνουμε, δεν μπορούμε να πούμε ότι η συνάρτηση που βρήκαμε είναι η ζητούμενη, αφού υπάρχει περίπτωση να μην επαληθεύει τις δοσμένες συνθήκες ( οπότε βέβαια τέτοια συνάρτηση που ζητάμε δεν θα υπάρχει. βλ. και εδώ: viewtopic.php?f=67&t=1492 παράγραφος 3.2 ).

Φιλικά.

Συμφωνω, εχετε δικιο. Σε σχολικο επιπεδο ισως να ειναι σοβαρο λαθος. Αλλα στις ολυμπιαδες ειναι στανταρ και τετριμενη διαδικασια σε ολα τα προβληματα αυτου του ειδους, ενω ταυτοχρονα τις περισσοτερες φορες ειναι και σχεδον προφανες το οτι το αποτελεσμα επαληθευει, και επηδη σε τετοιο επιπεδο δεν τιθεται θεμα ενας διαγωνιζομενος να μην γνωριζει τη διαφορα μεταξυ ισοδυναμιας και συνεπαγωγης και το τι ειναι το ευθη και τι το αντιστροφο, πολλες φορες πανω στη βιασυνη η συγκεκριμενη διαδικασια παραλειπεται απο αρκετους λυτες. Επηδη ομως απο τα παραπανω φαινεται οτι σε ολυμπιακο επιπεδο το συγκεκριμενο λαθος δεν ειναι ιδιαιτερα σημαντικο, στις ολυμπιαδες δεν κοβεται ποτε πανω απο 1/7 η 1/10 γι αυτο το λαθος. Τελος, το οτι το συγκεκριμενο λαθος γινεται, οπως προανεφερα, συχνα απο εμπειρους λυτες για λογους βιασυνης, φαινεται καθα στο πρωτο προβλημα την φετινης IMO, οπου η μοναδα που χαθηκε απο 2-3 μαθητες μας εξ ετιας του συγκεκριμενου λαθους, μας κοστισε 2 χαλκινα μεταλια και μια πολυ καλυτερη θεση στην τελικη καταταξη.

Φιλικα.

Α.Κυριακόπουλος · #9

Nick1990 έγραψε:Συμφωνω, εχετε δικιο. Σε σχολικο επιπεδο ισως να ειναι σοβαρο λαθος. Αλλα στις ολυμπιαδες ειναι στανταρ και τετριμενη διαδικασια σε ολα τα προβληματα αυτου του ειδους, ενω ταυτοχρονα τις περισσοτερες φορες ειναι και σχεδον προφανες το οτι το αποτελεσμα επαληθευει, και επηδη σε τετοιο επιπεδο δεν τιθεται θεμα ενας διαγωνιζομενος να μην γνωριζει τη διαφορα μεταξυ ισοδυναμιας και συνεπαγωγης και το τι ειναι το ευθη και τι το αντιστροφο, πολλες φορες πανω στη βιασυνη η συγκεκριμενη διαδικασια παραλειπεται απο αρκετους λυτες. Επηδη ομως απο τα παραπανω φαινεται οτι σε ολυμπιακο επιπεδο το συγκεκριμενο λαθος δεν ειναι ιδιαιτερα σημαντικο, στις ολυμπιαδες δεν κοβεται ποτε πανω απο 1/7 η 1/10 γι αυτο το λαθος. Τελος, το οτι το συγκεκριμενο λαθος γινεται, οπως προανεφερα, συχνα απο εμπειρους λυτες για λογους βιασυνης, φαινεται καθα στο πρωτο προβλημα την φετινης IMO, οπου η μοναδα που χαθηκε απο 2-3 μαθητες μας εξ ετιας του συγκεκριμενου λαθους, μας κοστισε 2 χαλκινα μεταλια και μια πολυ καλυτερη θεση στην τελικη καταταξη.
Φιλικα.

Αγαπητέ Νίκο.
Με αυτά που γράφεις μου δίνεις την εντύπωση ότι ίσως κάτι δεν έχεις καταλάβει σχετικά με τις μεθόδους απόδειξης στα Μαθηματικά. Θα μου επιτρέψεις λοιπόν να σου πω τα εξής:
1) Τα μαθηματικά από το Δημοτικό μέχρι τα Ντοκτορά( Λύκειο, Ολυμπιάδες, Πανεπιστήμιο κτλ.) αντιμετωπίζονται με τη βοήθεια της Μαθηματικής Λογικής (που δεν ταυτίζεται πάντοτε με την κοινή Λογική και ) που είναι η βάση όλων των μαθηματικών.
2) Τα μαθηματικά στις Ολυμπιάδες δεν αποτελούν εξαίρεση, αφού είναι και αυτά μαθηματικά. Μπορεί να είναι δύσκολες ασκήσεις και να απαιτούν έναν ιδιαίτερο τρόπο σκέψης. Αλλά η αντιμετώπισή τους γίνεται πάντοτε με τη Μαθηματική Λογική. Αυτό πρέπει να γίνει πλήρως κατανοητό.
3) Ποια διαδικασία στις Ολυμπιάδες είναι στάνταρ και τετριμμένη; Να μην επαληθεύουν ότι η συνάρτηση που βρήκαν πληροί τις δοσμένες συνθήκες, όταν δεν εργάζονται με ισοδυναμίες; Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι κάνεις μεγάλο λάθος. Γιατί αν δεν το κάνουν και συμβεί να μην επαληθεύονται (οι δοσμένες συνθήκες), θα έχουν κάνει λάθος.
4) Γράφεις: «…πολλες φορες πανω στη βιασυνη η συγκεκριμενη διαδικασια παραλειπεται απο αρκετους λυτες». Αυτό ομολογώ ότι δεν το καταλαβαίνω. Τι σημαίνει: «πανω στη βιασυνη ;». Δηλαδή προτιμούν να ρισκάρουν ότι η συνάρτηση που βρήκανε επαληθεύει τις δοσμένες συνθήκες, χωρίς να το έχουν ελέγξει (που σημαίνει ότι μπορεί να έχουν κάνει λάθος), για να πάνε στην επόμενη άσκηση; Αυτό είναι διαφορετικό από το να το έχουν ελέγξει και (έστω) να το αναφέρουν . Δηλαδή να γράψουν ότι : « Όπως επαληθεύουμε με εύκολα…». Αν δεν γράψουν κάτι τέτοιο, ο διορθωτικής δικαιολογημένα θα πρέπει να τους κόψει μονάδες.
5) Στα μαθηματικά σημαντικά λάθη ονομάζουμε τα «λογικά» λάθη και μη σημαντικά λάθη ονομάζουμε τα «τυπογραφικά» λάθη ( κυρίως τα λάθη πράξεων). Και το λάθος που συζητάμε είναι «λογικό» λάθος και άρα σημαντικό. Τα σημαντικά λάθη δεν χωρίζονται σε « ιδιαίτερα σημαντικά» και «μη ιδιαίτερα σημαντικά». Τι σημαίνει σε « Σχολικό επίπεδο» και σε «Ολυμπιακό επίπεδο», όπως γράφεις; Μαθηματικά δεν είναι και στις δύο περιπτώσεις; Σε όλα τα μαθηματικά κάτι ή είναι «σωστό» ή είναι «λάθος». Στα μαθηματικά δεν υπάρχουν διαβαθμίσεις, ούτε του σωστού, ούτε του λάθους. Και ένας λύτης που κάνει σημαντικά λάθη, δεν θα τον χαρακτήριζα «έμπειρο».
6) Στις τελευταίες σου γραμμές διακρίνω μια αντίφαση. Από τη μια μεριά λες ότι τα λάθη αυτά δεν είναι «ιδιαίτερα σημαντικά», από τη άλλη όμως λες ότι τα λάθη αυτά στη φετινή ΙΜΟ μας κόστισαν δύο χάλκινα μετάλλια και μια πολύ καλύτερη θέση στην τελική κατάταξη!!!
Αγαπητέ Νίκο.
Επειδή πάνω στο θέμα αυτό έχω γράψει κατά καιρούς πάρα πολλά και επειδή δεν θα ήθελα να επαναλαμβάνομαι, θα μου επιτρέψεις να μην επανέλθω στο θέμα αυτό ότι και να γράψεις. Εκτός αν μου απευθύνεις συγκεκριμένες ερωτήσεις.
Με εκτίμηση και αγάπη.

Nick1990 · #10

Θεωρω οτι ειναι λαθος που μπορει να γινει απο οποιονδηποτε, ειτε λογο βιασυνης ειτε επηδη ξεχνιεται καποιος, και επηδη δεν θα ηθελα να αναφερθω στον εαυτο μου για το ποσο καλα μαθηματικα ξερω, θα πω απλα αυτο: αν ειναι δυνατων ατομα που χασανε ετσι 1 μοναδα στο 1ο προβλημα στη φετινη IMO να μην γνωριζουν τετοια βασικα στοιχεια της μαθηματικης λογικης οταν εχουν λυσει πολυ δυσκολοτερα μαθηματκα προβληματα. Το οτι χασαμε ετσι 1-2 επιπλεον μεταλια φετος το ανεφερα απλα για να πω οτι ακομα και αρκετα εμπειροι λυτες, που δεν τιθετε καν θεμα να μη γνωριζουν τα βασικα της μαθηματικης λογικης, μπορουν να κανουν ενα τετοιο λαθος ειτε λογο βιασυνης ειτε για καποιον αλλο λογο. Με το χαρακτηρισμο "ασημαντο λαθος", εννοουσα οτι η συγκεκριμενη διαδικασια ελεγχου ειναι το ευκολοτερο κομματι στη λυση μιας συναρτησιακης εξισωσης, οπου για να βρεθουν ολες οι πιθανες λυσεις χρειαζονται καποιες εξυπνες κινησεις, και επηδη ακριβως ειναι το ευκολο κομματι, βαθμολογειται με 1 μοναδα το πολυ και μπορει καμια φορα να ξεχαστει ακομα και απο εναν αρκετα καλο λυτη, ειτε λογο βιασυνης ειτε για καποιον αλλο λογο. Προσωπικα ισως να ειναι η πρωτη μου φορα που ξεχναω να κανω επαληθευση σε πιθανη λυση που βρηκα για συναρτησιακη εξισωση. Θεωρω οτι ξοδευτηκε αρκετο μελανι για το συγκεκριμενο θεμα, καθως δεν πιστευω οτι υπαρχει ενεργο μελος στο φορουμ που να μην γνωριζει τα βασικα της μαθηματικης λογικης, και οπως εγραψα πιο πανω το να ξεχασει καποιος να αναφερει κατι (οτιδηποτε και αν ειναι αυτο) λογο βιασυνης/απροσεξιας μπορει να συμβει στον οποιοδηποτε.
Με εκτιμηση.

Εύρεση f

Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Re: Εύρεση f

Μέλη σε σύνδεση