Μια άσκηση από έναν καθηγητή μου...

nickthegreek · #1

Ένας καθηγητής μου από την Δράμα μου έδωσε αυτήν την άσκηση (δεν είναι πολύ δύσκολη ούτε και αυτή αλλά την βάζω γιατί είναι έξυπνη...)

Να βρεθεί το

σε συνάρτηση με το $\nu$ ,αν ισχύει ότι:

$(\frac{x}{x-1})^2 +(\frac{x}{x+1})^2=\nu (\nu -1)$

Φιλικά,
Νίκος

#2

Αν $\displaystyle{n(n-1)<0,}$ η εξίσωση είναι αδύνατη.

Έστω τώρα $\displaystyle{n(n-1)\geq 0 \Leftrightarrow n\geq 1 }$ ή $\displaystyle{n\leq 0.}$

Η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{x^2 \frac{x^2 +1}{(x^2 -1)^2}=\frac{n(n-1)}{2}.}$

Θέτουμε για ευκολία $\displaystyle{x^2 =y}$ και $\displaystyle{m=\frac{n(n-1)}{2}.}$

Η εξίσωση γράφεται τότε $\displaystyle{(m-1)y^2 -(2m+1)y+m=0.}$

Αν $\displaystyle{m=1}$ δηλαδή αν $\displaystyle{n=-1,2,}$

στην πρώτη περίπτωση αναγόμαστε στην $\displaystyle{x^2 =-1}$ (αδύνατη), ενώ στη δεύτερη στην $\displaystyle{x^2 =\frac{1}{5},}$

οπότε βρίσκουμε $\displaystyle{x=\pm \sqrt{\frac{1}{5}}.}$

Έστω τώρα $\displaystyle{m \neq 1.}$

Η διακρίνουσα $\displaystyle{D}$ της δευτεροβάθμιας είναι $\displaystyle{D=(2n-1)^2}$ και οι λύσεις της οι

$\displaystyle{y=\frac{n+1}{n-1},y=\frac{n-2}{n}.}$

Δηλαδή αναγόμαστε στις εξισώσεις

$\displaystyle{x^2 =\frac{n+1}{n-1}}$ και $\displaystyle{x^2 =\frac{n-2}{n}.}$

Η πρώτη έχει τις λύσεις $\displaystyle{x=\pm \sqrt{\frac{n+1}{n-1}}}$ μόνο αν $\displaystyle{n\geq 1}$ ή $\displaystyle{n\leq -1.}$

Η δεύτερη έχει τις λύσεις $\displaystyle{x=\pm \sqrt{\frac{n-2}{n}}}$ μόνο αν $\displaystyle{n\geq 2}$ ή $\displaystyle{n\leq -1.}$

Μια άσκηση από έναν καθηγητή μου...

Μια άσκηση από έναν καθηγητή μου...

Re: Μια άσκηση από έναν καθηγητή μου...

Μέλη σε σύνδεση