Σπουδή στα εγγράψιμα!

#1

Στο τεύχος Μαΐου 2013 του Crux Mathematicorum διαβάζουμε το άρθρο των Nicuşor Minculete, Cătălin Barbu and Gheorghe Szöllősy με τίτλο: "About the Japanese Theorem".

Στο άρθρο αυτό αποδεικνύεται μια σειρά από θεωρήματα σχετικά με τα εγγράψιμα τετράπλευρα.
Κάποια είναι πασίγνωστα, ενώ άλλα, πιστεύω, είναι σχετικά άγνωστα. Ας τα δούμε και ας επιχειρήσουμε να βρούμε αποδείξεις.

$\displaystyle{\bullet}$ Ας είναι $\displaystyle{ABCD}$ εγγράψιμο τετράπλευρο με μήκη πλευρών $\displaystyle{a=AB,b=BC,c=CD, d=DA,}$ διαγωνίους $\displaystyle{e=AC,f=BD.}$
Επίσης, ας είναι $\displaystyle{r_a,r_b,r_c,r_d}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{BCD,CDA,DAB,ABC,}$ αντίστοιχα.
Τότε, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

$\displaystyle{\bf \color{red}(1)}$ $\displaystyle{ef=ac+bd~}$ (1o Θεώρημα του Πτολεμαίου)

$\displaystyle{\bf \color{red}(2)}$ $\displaystyle{\frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{ab+cd}~}$ (2ο Θεώρημα του Πτολεμαίου)

$\displaystyle{\bf \color{red}(3)}$ $\displaystyle{r_a+r_c=r_b+r_d}$ (Θεώρημα των Ιαπώνων)

$\displaystyle{\bf \color{red}(4)}$ $\displaystyle{\frac{e}{f}=\frac{(a+b+e)(c+d+e)}{(b+c+f)(a+d+f)}.}$

$\displaystyle{\bf \color{red}(5)}$ $\displaystyle{r_ar_ce=r_br_df}$

$\displaystyle{\bf \color{red}(6)}$ $\displaystyle{\frac{abe}{a+b+e}+\frac{cde}{c+d+e}=\frac{bcf}{b+c+f}+\frac{adf}{a+d+f}}$

$\displaystyle{\bf \color{red}(7)}$ $\displaystyle{f\Big(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_c}\Big)=e\Big(\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_d}\Big)}$

$\displaystyle{\bf \color{red}(8)}$ $\displaystyle{e(r_a ^2+r_c ^2)=f(r_b ^2+r_d ^2).}$

#2

$\displaystyle{\bf \color{red}(3)}$ $\displaystyle{r_a+r_c=r_b+r_d}$ (Θεώρημα των Ιαπώνων)

Σχετική συζήτηση εδώ

parmenides51 · #3

matha έγραψε: $\displaystyle{\bf \color{red}(1)}$ $\displaystyle{ef=ac+bd~}$ (1o Θεώρημα του Πτολεμαίου)

με αντιστροφή εδώ

#4

matha έγραψε:Στο τεύχος Μαΐου 2013 του Crux Mathematicorum διαβάζουμε το άρθρο των Nicuşor Minculete, Cătălin Barbu and Gheorghe Szöllősy με τίτλο: "About the Japanese Theorem".

Στο άρθρο αυτό αποδεικνύεται μια σειρά από θεωρήματα σχετικά με τα εγγράψιμα τετράπλευρα.
Κάποια είναι πασίγνωστα, ενώ άλλα, πιστεύω, είναι σχετικά άγνωστα. Ας τα δούμε και ας επιχειρήσουμε να βρούμε αποδείξεις.

$\displaystyle{\bullet}$ Ας είναι $\displaystyle{ABCD}$ εγγράψιμο τετράπλευρο με μήκη πλευρών $\displaystyle{a=AB,b=BC,c=CD, d=DA,}$ διαγωνίους $\displaystyle{e=AC,f=BD.}$
Επίσης, ας είναι $\displaystyle{r_a,r_b,r_c,r_d}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{BCD,CDA,DAB,ABC,}$ αντίστοιχα.
Τότε, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

$\displaystyle{\bf \color{red}(1)}$ $\displaystyle{ef=ac+bd~}$ (1o Θεώρημα του Πτολεμαίου)

Καλησπέρα σε όλους

: Σπουδή στα εγγράψιμα.png (21.11 KiB) Προβλήθηκε 1324 φορές

Θεωρούμε σημείο

της

ώστε $\displaystyle{A\widehat DB = P\widehat DC}$ .
Τα τρίγωνα ADB, PDC

είναι όμοια, οπότε: $\displaystyle{\frac{a}{{PC}} = \frac{f}{c} \Leftrightarrow ac = f \cdot PC}$ (1)

Επίσης $\displaystyle{A\widehat DP = B\widehat DC}$ , άρα και τα τρίγωνα ADP, BDC

είναι όμοια.

Οπότε, $\displaystyle{\frac{d}{f} = \frac{{AP}}{b} \Leftrightarrow bd = f \cdot AP}$ (2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1), (2) έχουμε $\displaystyle{f(PC + AP) = ac + bd \Leftrightarrow ef = ac + bd}$

#5

matha έγραψε:
$\displaystyle{\bullet}$ Ας είναι $\displaystyle{ABCD}$ εγγράψιμο τετράπλευρο με μήκη πλευρών $\displaystyle{a=AB,b=BC,c=CD, d=DA,}$ διαγωνίους $\displaystyle{e=AC,f=BD.}$
Επίσης, ας είναι $\displaystyle{r_a,r_b,r_c,r_d}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{BCD,CDA,DAB,ABC,}$ αντίστοιχα.
Τότε, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:
$\displaystyle{\bf \color{red}(2)}$ $\displaystyle{\frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{ab+cd}~}$ (2ο Θεώρημα του Πτολεμαίου)

: Σπουδή στα εγγράψιμα.2png.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 1304 φορές

Έστω

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

$(ABCD)=(ABD)+(BDC)\displaystyle{ \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{(ABCD) = \frac{{f(ad + bc)}}{{4R}}}$ (1)

$\displaystyle{(ABCD) = (ABC) + (ACD) = \frac{{abe}}{{4R}} + \frac{{cde}}{{4R}} \Leftrightarrow (ABCD) = \frac{{e(ab + cd)}}{{4R}}}$ (2)

Από (1) και (2) $\displaystyle{f(ad + bc) = e(ab + cd) \Leftrightarrow \frac{e}{f} = \frac{{ad + bc}}{{ab + cd}}}$

#6

matha έγραψε:
$\displaystyle{\bullet}$ Ας είναι $\displaystyle{ABCD}$ εγγράψιμο τετράπλευρο με μήκη πλευρών $\displaystyle{a=AB,b=BC,c=CD, d=DA,}$ διαγωνίους $\displaystyle{e=AC,f=BD.}$
Επίσης, ας είναι $\displaystyle{r_a,r_b,r_c,r_d}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{BCD,CDA,DAB,ABC,}$ αντίστοιχα.
Τότε, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

$\displaystyle{\bf \color{red}(4)}$ $\displaystyle{\frac{e}{f}=\frac{(a+b+e)(c+d+e)}{(b+c+f)(a+d+f)}.}$

Από τα θεωρήματα του Πτολεμαίου είναι:
$\displaystyle{\frac{e}{f} = \frac{{ad + bc}}{{ab + cd}}}$ και $\displaystyle{ef = ac + bd}$

$\displaystyle{\frac{e}{f} = \frac{{e(a + b + c + d + e + f)}}{{f(a + b + c + d + e + f)}} = \frac{{ad + bc}}{{ab + cd}} = \frac{{e(a + b + c + d + e) + ef + ad + bc}}{{f(a + b + c + d + f) + ef + ab + cd}}}$

$\displaystyle{ = \frac{{e(a + b + c + d + e) + ac + bd + ad + bc}}{{f(a + b + c + d + f) + ac + bd + ab + cd}}}$

$\displaystyle{ = \frac{{ae + be + ce + de + {e^2} + ac + bd + ad + bc}}{{af + bf + cf + df + {f^2} + ac + bd + ab + cd}}}$

$\displaystyle{ = \frac{{a(c + d + e) + b(c + d + e) + e(c + d + e)}}{{b(a + d + f) + c(a + d + f) + f(a + d + f)}} = \frac{{(a + b + e)(c + d + e)}}{{(b + c + f)(a + d + f)}}}$

#7

matha έγραψε: $\displaystyle{\bullet}$ Ας είναι $\displaystyle{ABCD}$ εγγράψιμο τετράπλευρο με μήκη πλευρών $\displaystyle{a=AB,b=BC,c=CD, d=DA,}$ διαγωνίους $\displaystyle{e=AC,f=BD.}$
Επίσης, ας είναι $\displaystyle{r_a,r_b,r_c,r_d}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{BCD,CDA,DAB,ABC,}$ αντίστοιχα.
Τότε, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

$\displaystyle{\bf \color{red}(6)}$ $\displaystyle{\frac{abe}{a+b+e}+\frac{cde}{c+d+e}=\frac{bcf}{b+c+f}+\frac{adf}{a+d+f}}$

Είναι $\displaystyle{(ABE) = \frac{{abe}}{{4R}} = \frac{{a + b + e}}{2}{r_d} \Leftrightarrow \frac{{abe}}{{a + b + e}} = 2R{r_d}}$

Ομοίως, $\displaystyle{\frac{{cde}}{{c + d + e}} = 2R{r_b},\frac{{bcf}}{{b + c + f}} = 2R{r_a},\frac{{adf}}{{a + d + f}} = 2R{r_c}}$

Από το θεώρημα των Ιαπώνων είναι $\displaystyle{{r_b} + {r_d} = {r_a} + {r_c}}$ (1)

$\displaystyle{\frac{{abe}}{{a + b + e}} + \frac{{cde}}{{c + d + e}} = 2R({r_b} + {r_d})\mathop = \limits^{(1)} 2R({r_a} + {r_c}) = \frac{{bcf}}{{b + c + f}} + \frac{{adf}}{{a + d + f}}}$

#8

matha έγραψε:
$\displaystyle{\bullet}$ Ας είναι $\displaystyle{ABCD}$ εγγράψιμο τετράπλευρο με μήκη πλευρών $\displaystyle{a=AB,b=BC,c=CD, d=DA,}$ διαγωνίους $\displaystyle{e=AC,f=BD.}$
Επίσης, ας είναι $\displaystyle{r_a,r_b,r_c,r_d}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{BCD,CDA,DAB,ABC,}$ αντίστοιχα.
Τότε, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

$\displaystyle{\bf \color{red}(5)}$ $\displaystyle{r_ar_ce=r_br_df}$

$\displaystyle{\bf \color{red}(7)}$ $\displaystyle{f\Big(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_c}\Big)=e\Big(\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_d}\Big)}$

$\displaystyle{\bf \color{red}(5)}$ Στην απόδειξη του ερωτήματος $\displaystyle{\bf \color{red}(6)}$ χρησιμοποιήσαμε τους τύπους:

$\displaystyle{\frac{{abe}}{{a + b + e}} = 2R{r_d},\frac{{cde}}{{c + d + e}} = 2R{r_b},\frac{{bcf}}{{b + c + f}} = 2R{r_a},\frac{{adf}}{{a + d + f}} = 2R{r_c}}$ και από το ερώτημα $\displaystyle{\bf \color{red}(4)}$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{e}{f} = \frac{{(a + b + e)(c + d + e)}}{{(b + c + f)(a + d + f)}} = \frac{{\frac{{abe}}{{2R{r_d}}} \cdot \frac{{cde}}{{2R{r_b}}}}}{{\frac{{bcf}}{{2R{r_a}}} \cdot \frac{{adf}}{{2R{r_c}}}}} = \frac{{{e^2}{r_a}{r_c}}}{{{f^2}{r_b}{r_d}}} \Leftrightarrow e{r_a}{r_c} = f{r_b}{r_d}}$

$\displaystyle{\bf \color{red}(7)}$ $\displaystyle{f\left( {\frac{1}{{{r_a}}} + \frac{1}{{{r_c}}}} \right) = f\frac{{{r_a} + {r_c}}}{{{r_a}{r_c}}} = f\frac{{{r_b} + {r_d}}}{{{r_a}{r_c}}}\mathop = \limits^{(5)} e\frac{{{r_b} + {r_d}}}{{{r_b}{r_d}}} = e\left( {\frac{1}{{{r_b}}} + \frac{1}{{{r_d}}}} \right)}$

#9

matha έγραψε:
$\displaystyle{\bullet}$ Ας είναι $\displaystyle{ABCD}$ εγγράψιμο τετράπλευρο με μήκη πλευρών $\displaystyle{a=AB,b=BC,c=CD, d=DA,}$ διαγωνίους $\displaystyle{e=AC,f=BD.}$
Επίσης, ας είναι $\displaystyle{r_a,r_b,r_c,r_d}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{BCD,CDA,DAB,ABC,}$ αντίστοιχα.
Τότε, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

$\displaystyle{\bf \color{red}(3)}$ $\displaystyle{r_a+r_c=r_b+r_d}$ (Θεώρημα των Ιαπώνων)

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΚΑΙ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ !!!

: Σπουδή στα εγγράψιμα.3png.png (26.35 KiB) Προβλήθηκε 1154 φορές

Από γνωστό θεώρημα τα έγκεντρα αυτών των τριγώνων είναι κορυφές ορθογωνίου. Δηλαδή το KLMN

είναι ορθογώνιο. Οι DL, AK

, ως διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{B\widehat DC,B\widehat AC}$ τέμνονται στο μέσο

του τόξου

. Ομοίως οι BN, CM

τέμνονται στο μέσο

του τόξου

.

Επειδή K, L

είναι έγκεντρα των τριγώνων ABC, BDC

και το

ανήκει στον περιγεγραμμένο τους κύκλο, θα είναι PK=PL

. Άρα η

είναι μεσοκάθετος της

, απ' όπου ML//NK//PQ

.

Φέρνω τις $\displaystyle{LE \bot DC,MF \bot DC,MH \bot LE}$ . Είναι $\displaystyle{LE = {r_a},MF = {r_b},LH = LE - MF = {r_a} - {r_b}}$ .

$\displaystyle{{r_a} - {r_b} = ML \cdot \eta \mu (L\widehat MH)}$

Αλλά, $\displaystyle{L\widehat MH = L\widehat MC - H\widehat MC = P\widehat QC - M\widehat CD = \frac{1}{2}B\widehat DC - \frac{1}{2}A\widehat PD}$ .

Άρα, $\displaystyle{{r_a} - {r_b} = ML \cdot \eta \mu \frac{{B\widehat DC - A\widehat PD}}{2}}$ .

Ομοίως βρίσκουμε ότι $\displaystyle{K\widehat NS = \frac{1}{2}B\widehat DC - \frac{1}{2}A\widehat PD}$ , οπότε,

$\displaystyle{{r_d} - {r_c} = NK \cdot \eta \mu \frac{{B\widehat DC - A\widehat PD}}{2}}$
Αλλά, ML=NK

.

Επομένως $\displaystyle{{r_a} - {r_b} = {r_d} - {r_c} \Leftrightarrow {r_a} + {r_c} = {r_b} + {r_d}}$

Σπουδή στα εγγράψιμα!

Σπουδή στα εγγράψιμα!

Re: Σπουδή στα εγγράψιμα!

Re: Σπουδή στα εγγράψιμα!

Re: Σπουδή στα εγγράψιμα!

Re: Σπουδή στα εγγράψιμα!

Re: Σπουδή στα εγγράψιμα!

Re: Σπουδή στα εγγράψιμα!

Re: Σπουδή στα εγγράψιμα!

Re: Σπουδή στα εγγράψιμα!

Μέλη σε σύνδεση