Περιστρεφόμενη γωνία

kostas_zervos · #1

: ask223.png (10.06 KiB) Προβλήθηκε 277 φορές

Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\overset{\triangle}{ABC}\,\;(\hat{A}=90^o)$ με AB=a

.
Μια γωνία μέτρου 45^o

έχει κορυφή το

και περιστρέφεται έτσι ώστε οι πλευρές της να τέμνουν την πλευρά

στα $D\;,\;E$ (ανήκουν και τα δύο στο τμήμα

).
Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\overset{\triangle}{ABD}\;,\;\overset{\triangle}{ACE}$ τέμνονται στα

και

.
α)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του

.
β)Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του (AM)

.

#2

kostas_zervos έγραψε:
Το συνημμένο ask223.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\overset{\triangle}{ABC}\,\;(\hat{A}=90^o)$ με .
Μια γωνία μέτρου έχει κορυφή το και περιστρέφεται έτσι ώστε οι πλευρές της να τέμνουν την πλευρά στα $D\;,\;E$ (ανήκουν και τα δύο στο τμήμα ).
Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\overset{\triangle}{ABD}\;,\;\overset{\triangle}{ACE}$ τέμνονται στα και .
α)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του .
β)Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του .

: Τόπος Κώστα Ζερβού.png (23.39 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

Είναι $\widehat \phi = {\widehat \phi _1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \theta = {\widehat \theta _1}$ . Άρα ${\widehat \theta _1} + {\widehat \phi _1} = {45^0} \Rightarrow \boxed{C\widehat MB = {{135}^0}}$
Επειδή η γωνία $C\widehat MB = {135^0}$ το

βλέπει την σταθερή χορδή

υπό γνωστή γωνία και θα ανήκει σε τεταρτοκύκλιο κέντρου

και ακτίνας

, με

τετράγωνο.
Ο τόπος είναι το τόξο $\tau o\xi PQ$ ( από τις αντίστοιχες οριακές θέσεις των E,D

.)
Αν δηλαδή γράψουμε τον κύκλο διαμέτρου

και τον κύκλο που έχει χορδή το

, κέντρο

έξω από το τετράγωνο και γωνία $C\widehat LA = {90^0}$ , η τομή τους θα δώσει το σημείο

. Το συμμετρικό του

ως προς την

ορίζει το άλλο οριακό σημείο

.
Τέλος από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο MAK

έχουμε:

$AM \geqslant AK - KM = a\sqrt 2 - a = a(\sqrt 2 - 1)$ και έτσι , $\min AM = a(\sqrt 2 - 1)$

Φιλικά Νίκος

Περιστρεφόμενη γωνία

Περιστρεφόμενη γωνία

Re: Περιστρεφόμενη γωνία

Μέλη σε σύνδεση