Θεώρημα Nagel με Αντιστροφή

[ΕΚτζ]

Δεν ξέρω αν θα έπρεπε να μπει σε αυτό το φάκελο, διότι είναι αρκετά εύκολο αν αντιστρέψει κανείς με τον κατάλληλο πόλο και λόγο.

Να αποδειχθεί με τη χρήση αντιστροφής ότι οι ακτίνες της περιγεγραμμένης περιφέρειας ενός τριγώνου, που αντιστοιχούν στις κορυφές του είναι αντίστοιχα κάθετες στις πλευρές του ορθικού τριγώνου.

Μου φάνηκε κομψή απόδειξη και ήθελα να τη μοιραστώ.

[raf616]

Δεν ξέρω αν θα έπρεπε να μπει σε αυτό το φάκελο, διότι είναι αρκετά εύκολο αν αντιστρέψει κανείς με τον κατάλληλο πόλο και λόγο.

Να αποδειχθεί με τη χρήση αντιστροφής ότι οι ακτίνες της περιγεγραμμένης περιφέρειας ενός τριγώνου, που αντιστοιχούν στις κορυφές του είναι αντίστοιχα κάθετες στις πλευρές του ορθικού τριγώνου.

Μου φάνηκε κομψή απόδειξη και ήθελα να τη μοιραστώ.

Καλησπέρα! Μία προσπάθεια:

Θα δείξω το ζητούμενο μόνο για τη γωνία . Όμοια γίνεται και για τις άλλες. Έστω τα ύψη από τα αντίστοιχα και το

περίκεντρο του . Αντιστρέφω με πόλο και ακτίνα . Τότε τα γίνονται τα αντίστοιχα και ο περιγεγραμμένος κύκλος του

θα γίνει ευθεία που περνάει από τα αντίστροφα των , δηλαδή η . Άρα, η είναι αντίστροφη του στην αντιστροφή με πόλο το και άρα

που δίνει το ζητούμενο.