Διάμεσοι και περιγεγραμμένος κύκλος!

#1

Έχοντας εξετάσει την περίπτωση των διχοτόμων εδώ, ας αποδείξουμε την ανάλογη πρόταση για τις διαμέσους, δηλαδή ότι:

Αν $\displaystyle{D,E,Z}$ είναι τα σημεία στα οποία τέμνουν οι διάμεσοι του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ τον περιγεγραμμένο κύκλου του, για δεύτερη φορά, να αποδειχθεί, ότι

$\displaystyle{(DEZ)\geq (ABC).}$

R. Janic.

#2

matha έγραψε:Έχοντας εξετάσει την περίπτωση των διχοτόμων εδώ, ας αποδείξουμε την ανάλογη πρόταση για τις διαμέσους, δηλαδή ότι:

Αν $\displaystyle{D,E,Z}$ είναι τα σημεία στα οποία τέμνουν οι διάμεσοι του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ τον περιγεγραμμένο κύκλου του, για δεύτερη φορά, να αποδειχθεί, ότι

$\displaystyle{(DEZ)\geq (ABC).}$

R. Janic.

Θάνο καλησπέρα.

Ας μου επιτρέψεις να προσθέσω στο πολύ όμορφο θέμα σου και την "ισότητα" από την οποία προκύπτει άμεσα και η ζητούμενη ανισοϊσότητα.

Να δειχθεί στο θέμα (όπως έχει διατυπωθεί από τον Θάνο) ότι: $\displaystyle{ \boxed{\frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{\left( {\mu _\alpha ^2 + \mu _\beta ^2 + \mu _\gamma ^2 } \right)^3 }} {{27\mu _\alpha ^2 \mu _\beta ^2 \mu _\gamma ^2 }}} }$ όπου $\displaystyle{ \mu _\alpha ,\mu _\beta ,\mu _\gamma }$ είναι οι διάμεσοι του τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$

Φιλικά
Στάθης

#3

Έστω $\displaystyle{G}$ το βαρύκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{ABC.}$

Είναι γνωστό ότι η δύναμη του σημείου $\displaystyle{G}$ ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ είναι ίση με $\displaystyle{ - \frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2}}}{9}}$ (εφαρμογή του τύπου του Leibniz).

Έχουμε ότι

$\displaystyle{\frac{{\left( {EGZ} \right)}}{{\left( {BGC} \right)}} = \frac{{GE \cdot GZ}}{{GB \cdot GC}} \Rightarrow \frac{{\left( {EGZ} \right)}}{{\frac{1}{3}\left( {ABC} \right)}} = \frac{{\left( {GB \cdot GE} \right) \cdot \left( {GC \cdot GZ} \right)}}{{G{B^2} \cdot G{C^2}}} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \frac{{3\left( {EGZ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{{{\left( { - \frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2}}}{9}} \right)}^2}}}{{\frac{{16}}{{81}}\mu _\beta ^2 \cdot \mu _\gamma ^2}} \Rightarrow \frac{{3\left( {EGZ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{{{\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2}} \right)}^2}}}{{16\mu _\beta ^2 \cdot \mu _\gamma ^2}}.}$

Αλλά είναι γνωστό ότι

$\displaystyle{{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2} = \frac{4}{3}\left( {\mu _\alpha ^2 + \mu _\beta ^2 + \mu _\gamma ^2} \right)}$

οπότε η παραπάνω σχέση δίνει ότι

$\displaystyle{\frac{{\left( {EGZ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{{{\left( {\mu _\alpha ^2 + \mu _\beta ^2 + \mu _\gamma ^2} \right)}^2}}}{{27\mu _\beta ^2 \cdot \mu _\gamma ^2}}}$ (1).

Όμοια, βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\frac{{\left( {DGZ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{{{\left( {\mu _\alpha ^2 + \mu _\beta ^2 + \mu _\gamma ^2} \right)}^2}}}{{27\mu _\alpha ^2 \cdot \mu _\gamma ^2}}}$ (2)

και

$\displaystyle{\frac{{\left( {DGE} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{{{\left( {\mu _\alpha ^2 + \mu _\beta ^2 + \mu _\gamma ^2} \right)}^2}}}{{27\mu _\alpha ^2 \cdot \mu _\beta ^2}}}$ (3).

Με πρόσθεση των σχέσεων (1)(2) και (3) κατά μέλη, βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\boxed{\frac{{\left( {D{\rm E}{\rm Z}} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{{{\left( {\mu _\alpha ^2 + \mu _\beta ^2 + \mu _\gamma ^2} \right)}^3}}}{{27\mu _\alpha ^2 \cdot \mu _\beta ^2 \cdot \mu _\gamma ^2}}},}$

που είναι η ισότητα που πρότεινε ο Στάθης.

Η ανισότητα που προτάθηκε από το Θάνο έπεται άμεσα από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου:

$\displaystyle{\mu _\alpha ^2 + \mu _\beta ^2 + \mu _\gamma ^2 \ge 3\sqrt[3]{{\mu _\alpha ^2 \cdot \mu _\beta ^2 \cdot \mu _\gamma ^2}} \Rightarrow {\left( {\mu _\alpha ^2 + \mu _\beta ^2 + \mu _\gamma ^2} \right)^3} \ge 27\mu _\alpha ^2 \cdot \mu _\beta ^2 \cdot \mu _\gamma ^2 \Rightarrow \frac{{\left( {DEZ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} \ge 1.}$

Το ίσον ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{{\mu _\alpha } = {\mu _\beta } = {\mu _\gamma },}$ δηλαδή αν και μόνο αν το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισόπλευρο.

Διάμεσοι και περιγεγραμμένος κύκλος!

Διάμεσοι και περιγεγραμμένος κύκλος!

Re: Διάμεσοι και περιγεγραμμένος κύκλος!

Re: Διάμεσοι και περιγεγραμμένος κύκλος!

Μέλη σε σύνδεση