σύστημα+γεωμετρία

#8

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Εάν οι προβολές τριών σημείων πάνω σε δύο τεμνόμενες ευθείες, ορίζουν τμήματα με ίσους Λόγους, τότε τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά με τον ίδιο Λόγο.

Απόδειξη. ( σχήμα f=50_t=331(a) )

Έστω $A,\ B,\ C,$ οι προβολές των σημείων $K,\ L,\ M,$ επί της ευθείας (e)

και $A^{\prime},\ B^{\prime},\ C^{\prime},$ οι προβολές των επί της ευθείας $(e^{\prime})$ και ότι ισχύει $\displaystyle\frac{AB}{BC} = \frac{A^{\prime}B^{\prime}}{B^{\prime}C^{\prime}}$ ,(1)

Δεχόμαστε ότι το σημείο

δεν ανήκει στην ευθεία

και έστω $M^{\prime},\ M^{\prime\prime},$ τα σημεία στα οποία οι ευθείες $CM,\ C^{\prime}M,$ τέμνουν την ευθεία KL.

Σύμφωνα με το θεώρημα Θαλή, έχουμε $\displaystyle \frac{AB}{BC} = \frac{KL}{LM^{\prime}}$ ,(2)

και $\displaystyle \frac{A^{\prime}B^{\prime}}{B^{\prime}C^{\prime}} = \frac{KL}{LM^{\prime\prime}}$ ,(3)

Από $(1),\ (2),\ (3)$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{KL}{LM^{\prime}} = \frac{KL}{LM^{\prime\prime}}$ $\Longrightarrow$ $LM^{\prime} = LM^{\prime\prime}$ $\Longrightarrow$ $M^{\prime}\equiv M^{\prime\prime}$ ,(4)

Από

συμπεραίνουμε ότι το

είναι σημείο της ευθείας

και η πρόταση έχει αποδειχθεί.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ.

Η πρόταση αυτή είναι το αντίστροφο της πρότασης όπου ζητείται να αποδειχθεί ότι οι προβολές τριών συνευθειακών σημείων πάνω σε δύο τεμνόμενες ευθείες, ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους, η οποία επίσης αποδεικνύεται άμεσα με το θεώρημα Θαλή.

Είναι ένα πρόσθετο ( από τα υπάρχοντα στη βιβλιογραφία ) κριτήριο, που αρκεί για να αποδεικνύεται ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά και θα δώσουμε τώρα τη γενίκευσή της ( σχήμα f=50_t=331(b) ).

ΠΡΟΤΑΣΗ 1. - Εάν δια τριών σημείων του επίπέδου, δύο τυχούσες δέσμες παραλλήλων ευθειών έχουν ίσους λόγους, τότε τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά.

Ορισμός.

Ονομάζουμε λόγο δέσμης τριών παραλλήλων ευθειών, το σταθερό λόγο των τμημάτων που ορίζουν τα σημεία τομής των, επί τυχούσας ευθείας η οποία τις τέμνει.

$\bullet$ Έστω $K,\ L,\ M,$ τρία σημεία του επιπέδου και δύο τυχούσες δέσμες παραλλήλων ευθειών $(a),\ (b),\ (c)$ και $(a^{\prime}),\ (b^{\prime}),\ (c^{\prime}),$ δια των σημείων αυτών.

Τυχούσα ευθεία (e),

τέμνει την πρώτη δέσμη στα σημεία $A,\ B,\ C$ αντιστοίχως και άλλη τυχούσα επίσης ευθεία $(e^{\prime}),$ τέμνει τη δεύτερη δέσμη στα σημεία $A^{\prime},\ B^{\prime},\ C^{\prime}$ αντιστοίχως.

Εάν είναι $\displaystyle \frac{AB}{BC} = \frac{A^{\prime}B^{\prime}}{B^{\prime}C^{\prime}},$ αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο όπως και παραπάνω, ότι τα σημεία $K,\ L,\ M,$ είναι συνευθειακά.

ΣΧΟΛΙΑ.

1) - Αυτή η πρόταση, απλή στη διατύπωσή της και εύκολη στην απόδειξή της, έχει πολλές εφαρμογές και αρκετές φορές σε δύσκολα προβήματα.

2) - Ισχύει και το αντίστροφο ( σχήμα f=50_t=331(c) ).

ΠΡΟΤΑΣΗ 2. - Εάν δύο δέσμες παραλλήλων ευθειών με ίσους λόγους τέμνονται, τότε τα σημεία τομής των ομολόγων ευθειών τους, ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Κώστας Βήττας.

#9

vittasko έγραψε:Θεώρημα Newton. (a) - Σε κάθε περιγράψιμο τετράπλευρο, οι ευθείες που συνδέουν τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στις απένατι πλευρές, διέρχονται δια του σημείου τομής των διαγωνίων του.

Απόδειξη. (σχήμα f=50_t=331(d) )

$\bullet$ Έστω ABCD

το δοσμένο τετράπλευρο, περιγεγραμμένο περί τον κύκλο (O)

και $E,\ E^{\prime},$ τα σημεία επαφής του (O)

στις πλευρές $AB,\ CD$ αντιστοίχως και $F,\ F^{\prime},$ τα σημεία επαφής του στις πλευρές $AD,\ BC.$

Έστω

το σημείο τομής των $AC,\ EE^{\prime}.$

Τα τρίγωνα $\bigtriangleup AEM$ και $\bigtriangleup CE^{\prime}M$ έχουν $\angle AME = \angle CME^{\prime}$ και $\angle AEM = 180^{o} - \angle BEM = 180^{o} - CE^{\prime}M$ και άρα έχουμε $\displaystyle \frac{AE}{CE^{\prime}} = \frac{AM}{CM}$ ,(1)

( οι πλευρές απέναντι των ίσων γωνιών, έχουν λόγο ίσο με το λόγο των πλευρών απέναντι των παραπληρωματικών γωνιών ).

$\bullet$ Έστω $M^{\prime}$ το σημείο τομής των $AC,\ FF^{\prime}.$

Με παρόμοιο τρόπο από τα τρίγωνα $\bigtriangleup AFM^{\prime}$ και $\bigtriangleup CF^{\prime}M^{\prime},$ συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle \frac{AF}{CF^{\prime}} = \frac{AM^{\prime}}{CM^{\prime}}$ ,(2)

Από $(1),\ (2)$ και επειδή AE = AF

και $CE^{\prime} = CF^{\prime},$ προκύπτει ότι $\displaystyle \frac{AM}{CM} = \frac{AM^{\prime}}{CM^{\prime}}$ και άρα $M^{\prime}\equiv M.$

Δηλαδή το σημείο $M\equiv EE^{\prime}\cap FF^{\prime},$ κείται επί της διαγώνιας

του

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι το σημείο

ανήκει επίσης στη διαγώνια BD.

Επομένως το σημείο τομής των $EE^{\prime},\ FF^{\prime},$ ταυτίζεται με το σημείο

τομής των διαγωνίων $AC,\ BD$ του ABCD

και η πρόταση έχει αποδειχθεί.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ.

1) - Η απόδειξη αυτή υπάρχει στο βιβλίο, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ F.G.M. (Ιησουϊτών), σελίδα 603, Εκδόσεις Α. ΚΑΡΑΒΙΑ, Αθήνα 1952.

2) - Στη σελίδα 809 του ίδιου βιβλίου, υπάρχει απόδειξη ενός άλλου θεωρήματος Newton, που αφορά στα περιγράψιμα τετράπλευρα.

Θεώρημα Newton. (b) - Σε κάθε περιγράψιμο τετράπλευρο, του κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, ανήκει στην ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του.

Δείτε Εδώ , δύο άλλες αποδείξεις του θεωρήματος Newton (b) .

Κώστας Βήττας.

#10

vittasko έγραψε:Θεώρημα Newton. (a) - Σε κάθε περιγράψιμο τετράπλευρο, οι ευθείες που συνδέουν τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στις απένατι πλευρές, διέρχονται δια του σημείου τομής των διαγωνίων του.

Μιας και το επανέφερε ο Ησίοδος εδώ να παρατηρήσω:

Μια άμεση απόδειξη γίνεται με το θεώρημα του Brianchon, αρκεί στο αντίστοιχο εξάγωνο δύο κατάλληλα ζεύγη διαδοχικών κορυφών να συμπέσπουν, ώστε να εκφυλιστεί στο περιγράψιμο τετράπλευρο του Newton. (προκύπτει και αντίστοιχο ενδιάμεσο θεώρημα για περιγράψιμο πεντάπλευρο)

Άλλη απόδειξη έχουμε, αν θεωρήσουμε τον προβολικό μετασχηματισμό που στέλνει τον κύκλο σε κύκλο και το σημείο τομής των τμημάτων που συνδέουν τα σημεία επαφής των απέναντι πλευρών στο κέντρο του νέου κύκλου. Το τετράπλευρο μετασχηματίζεται σε τετράγωνο και η απόδειξη γίνεται με την παρατήρηση ότι οι διαγώνιες τετραγώνου τέμνονται στο κέντρο του.

σύστημα+γεωμετρία

Re: σύστημα+γεωμετρία

Re: σύστημα+γεωμετρία

Re: σύστημα+γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση