σύστημα+γεωμετρία

[vittasko]

Θεώρημα Newton. (a) - Σε κάθε περιγράψιμο τετράπλευρο, οι ευθείες που συνδέουν τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στις απένατι πλευρές, διέρχονται δια του σημείου τομής των διαγωνίων του.

Απόδειξη. (σχήμα f=50_t=331(d) )

Έστω το δοσμένο τετράπλευρο, περιγεγραμμένο περί τον κύκλο και τα σημεία επαφής του στις πλευρές αντιστοίχως και τα σημεία επαφής του στις πλευρές

Έστω το σημείο τομής των

Τα τρίγωνα και έχουν και και άρα έχουμε

( οι πλευρές απέναντι των ίσων γωνιών, έχουν λόγο ίσο με το λόγο των πλευρών απέναντι των παραπληρωματικών γωνιών ).

Έστω το σημείο τομής των

Με παρόμοιο τρόπο από τα τρίγωνα και συμπεραίνουμε ότι

Από και επειδή και προκύπτει ότι και άρα

Δηλαδή το σημείο κείται επί της διαγώνιας του

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι το σημείο ανήκει επίσης στη διαγώνια

Επομένως το σημείο τομής των ταυτίζεται με το σημείο τομής των διαγωνίων του και η πρόταση έχει αποδειχθεί.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ.

1) - Η απόδειξη αυτή υπάρχει στο βιβλίο, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ F.G.M. (Ιησουϊτών), σελίδα 603, Εκδόσεις Α. ΚΑΡΑΒΙΑ, Αθήνα 1952.

2) - Στη σελίδα 809 του ίδιου βιβλίου, υπάρχει απόδειξη ενός άλλου θεωρήματος Newton, που αφορά στα περιγράψιμα τετράπλευρα.

Θεώρημα Newton. (b) - Σε κάθε περιγράψιμο τετράπλευρο, του κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, ανήκει στην ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του.

Δείτε Εδώ , δύο άλλες αποδείξεις του θεωρήματος Newton (b) .

Κώστας Βήττας.

[rek2]

Θεώρημα Newton. (a) - Σε κάθε περιγράψιμο τετράπλευρο, οι ευθείες που συνδέουν τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στις απένατι πλευρές, διέρχονται δια του σημείου τομής των διαγωνίων του.

Μιας και το επανέφερε ο Ησίοδος εδώ να παρατηρήσω:

Μια άμεση απόδειξη γίνεται με το θεώρημα του Brianchon, αρκεί στο αντίστοιχο εξάγωνο δύο κατάλληλα ζεύγη διαδοχικών κορυφών να συμπέσπουν, ώστε να εκφυλιστεί στο περιγράψιμο τετράπλευρο του Newton. (προκύπτει και αντίστοιχο ενδιάμεσο θεώρημα για περιγράψιμο πεντάπλευρο)

Άλλη απόδειξη έχουμε, αν θεωρήσουμε τον προβολικό μετασχηματισμό που στέλνει τον κύκλο σε κύκλο και το σημείο τομής των τμημάτων που συνδέουν τα σημεία επαφής των απέναντι πλευρών στο κέντρο του νέου κύκλου. Το τετράπλευρο μετασχηματίζεται σε τετράγωνο και η απόδειξη γίνεται με την παρατήρηση ότι οι διαγώνιες τετραγώνου τέμνονται στο κέντρο του.