Kι άλλη γεωμετρία

[nickthegreek]

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και έστω το ορθόκεντρό του.Ο κύκλος με κέντρο το μέσο του
που διέρχεται από το τέμνει την στα .Ο κύκλος με κέντρο το μέσο του που διέρχεται από το τέμνει την στα σημεία .Όμοια ο κύκλος με κέντρο το μέσο της που διέρχεται από το τέμνει την στα σημεία .Να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Φιλικά,
Νίκος

[Nick1990]

Νομίζω πως είναι ευρέως γνωστό πλέον, είναι το 1ο θέμα της ΙΜΟ του 2008 στην Ισπανία, του οποίου μια γενίκευση μπήκε στον Ευκλείδη της 3ης Λυκείου την επόμενη χρονιά.

[p_gianno]

Επιχειρώ μια προσέγγιση

Οι πόδες των υψών και τα μέσα των πλευρών του ΑΒΓ είναι ομοκυκλικά σημεία. (Καφέ- κύκλος 9 σημείων ) Είναι εγγράψιμο
συνεπώς Β ριζικό κέντρο των Cz , CΔ , C euler άρα ΗΤ διέρχεται από το Β.
Είναι επομένως ΒΘ ΒΝ=ΒΤ ΒΗ =ΒΙ ΒΚ
συνεπώς ΘΙΚΝ εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο την τομή Ο των μεσοκαθέτων των ΘΝ και ΙΚ που προφανώς συμπίπτει με το περίκεντρο του τργ ΑΒΓ .
Τα ίδια ισχύουν και για το τετράπλευρο ΛΚΙΜ που θα είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο του ιδίου κέντρου Ο.
Όμως το σημείο Ι είναι κοινή κορυφή των προαναφερθέντων τετραπλεύρων στα οποία η ΟΙ είναι κοινή ακτίνα των περιγεγραμμένων κύκλων
που σημαίνει ότι αυτοί ταυτίζονται στον (Ο,ΟΙ) . Είναι δηλαδή Θ,Ι,Κ,Ν,Λ,Μ ομοκυκλικά. οεδ