Ναί Κατασκευή

[S.E.Louridas]

Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν δίνονται:
1) Το μέγεθος kβγ/λR (β,γ πλευρές, R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου),με κ,λ δοθείσες θετικές σταθερές,
2) η διαφορά των γωνιών Β-Γ,
3) η ισχύς της ισότητας β+γ=nα (οταν α η τρίτη πλευρά), όπου n δοθεντας θετικός ακέραιος.

** Διόρθωσα ένα λάθος έκφρασης στο 1ο δεδομένο,

Ευχαριστώ
S.E.Louridas

[R BORIS]

Ανάλυση
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ την διχοτόμο και Ι το έκκεντρο του
Από την σχέση προκύπτει ότι το μήκος άρα και το ύψος ΑΕ είναι γνωστά
Είναι γνωστό ότι η γωνία ΕΑΔ=(Β-Γ)/2 όπου ΑΔ η διχοτόμος της Α
άρα το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΑΔ είναι κατασκευάσιμο
Απο το θ.διχοτόμων στο τρίγωνο ΑΒΔγια την διχοτόμο ΒΙ προκύπτει άρα Ι γνωστο και
η απόσταση ρ του Ι από την ΔΕ επίσης γνωστή

Κατασκευή
Απο το ΑΔ και την Β-Γ κατασκευάζουμε το ΑΔΕ
Βρίσκουμε το Ι απο τον λόγο (β+γ)/α
γραφουμε τον κύκλο (Ι,ρ)
απο το Α φέρνουμε εφαπτόμενες του κύκλου ώσπου να συναντήσουν την ΔΕ
Σημειωτέον ότι το ΑΔ κατασκευάζεται ως 4η ανάλογος των k,λ,δ (δ=κβγ/2λR

Απόδειξη
το ΑΒΓ έχει εκ κατασκευής το ύψος άρα και το δ
Η ΑΔ είναι διχοτόμος της Α αφού ΑΒ, ΑΓ εφαπτόμενες οπότε η ΔΑΕ=(Β-Γ)/2 όπου Β,Γ οι γωνίες του ΑΒΓ
Λογω της κατακευής ο (Ι,ρ) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του ΑΒΓ οπότε Ι είναι το έκκεντρο και ΙΑ/ΙΔ=(β+γ)/2

ΘΑ ακολουθήσει διερεύνηση
To AΔ κατασκευάζεται με προϋπόθεση
Το τρίγωνο ΑΔΕ πάντα κατασκευάζεται από το ΑΔ και την (Β-Γ)/2
Επίσης Το Ι ανάμεσα στα Α,Δ με ΙΔ>ΙΑ αφού β+γ>α
Καθώς και ο κύκλος (Ι,ρ)
όλα τα προηγούμενα είναι μοναδικά
Το Α είναι στο εξωτερικό του (Ι,ρ) αφού ρ<ΙΔ<ΙΑ
πάντα λοιπόν έχουμε δυο εφαπτόμενες από το Α προς τον (Ι,ρ)
Συνεπώς μοναδικά σημεία τομής Β,Γ

Ευχαριστώ τον Σωτήρη για το ΠΜ

[S.E.Louridas]

Μετά την υποδειγματική, Επιστημονικά αλλά και διδακτικά, λύση του Ροδόλφου (αυτά είναι τα βήματα πρέπει να ακολουθεί ο λύτης σε Γεωμετρικές Κατασκευές) Δεν έχω να προσθέσω κάτι.

S.E.Louridas