Τρία σημεία στις τρεις πλευρές!

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και τα σημεία $\displaystyle{P,Q,R}$ στις πλευρές $\displaystyle{BC,CA,AB}$ αντίστοιχα. Αν ισχύει $\displaystyle{QA+AR=RB+BP=PC+CQ,}$ να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{QR+RP+PQ\geq s,}$

όπου $\displaystyle{s}$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

#2

Επαναφορά!

#3

Έστω $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{L}$ οι (ορθές) προβολές των σημείων

και

στην ευθεία

. Τότε, είναι:

$\displaystyle{QR \ge KL = a - \left( {BR \cdot \cos B + CQ \cdot \cos C} \right)}$ $\bf \color{red} \left(1 \right)$

(η σχέση αυτή εξακολουθεί να ισχύει και στην περίπτωση που ένα από τα σημεία $\displaystyle{K}$ , $\displaystyle{L}$ είναι εξωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος

).

Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι:

$\displaystyle{RP \ge b - \left( {CP \cdot \cos C + AR \cdot \cos A} \right)}$ $\bf \color{red} \left(2 \right)$

$\displaystyle{PQ \ge c - \left( {AQ \cdot \cos A + BP \cdot \cos B} \right)}$ $\bf \color{red} \left(3 \right)$

Με πρόσθεση των σχέσεων $\bf \color{red} \left(1 \right)$ $\bf \color{red} \left(2 \right)$ και $\bf \color{red} \left(3 \right)$ κατά μέλη και χρησμοποιώντας ότι

$\displaystyle{QA + AR = RB + BP = PC + CQ = \frac{{a + b + c}}{3} = \frac{{2s}}{3}}$

προκύπτει ότι:

$\displaystyle{QR + RP + PQ \ge a + b + c - \frac{{2s}}{3}\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right) = 2s\left[ {1 - \frac{1}{3}\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right)} \right]}$ $\bf \color{red} \left(4 \right)$ .

Χρησιμοποιώντας τώρα τη γνωστή τριγωνομετρική ανισότητα

$\displaystyle{\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2},}$

η σχέση $\bf \color{red} \left(4 \right)$ δίνει ότι

$\displaystyle{QR + RP + PQ \ge 2s\left( {1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} \right) = s}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο και τα σημεία P, Q, R

είναι τα μέσα των πλευρών του BC, CA, AB

αντίστοιχα.

Τρία σημεία στις τρεις πλευρές!

Τρία σημεία στις τρεις πλευρές!

Re: Τρία σημεία στις τρεις πλευρές!

Re: Τρία σημεία στις τρεις πλευρές!

Μέλη σε σύνδεση