Τρία σημεία στις τρεις πλευρές!
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Τρία σημεία στις τρεις πλευρές!
Έστω τρίγωνο και τα σημεία στις πλευρές αντίστοιχα. Αν ισχύει να αποδειχθεί ότι
όπου η ημιπερίμετρος του τριγώνου .
όπου η ημιπερίμετρος του τριγώνου .
Μάγκος Θάνος
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Τρία σημεία στις τρεις πλευρές!
Έστω και οι (ορθές) προβολές των σημείων και στην ευθεία . Τότε, είναι:
(η σχέση αυτή εξακολουθεί να ισχύει και στην περίπτωση που ένα από τα σημεία , είναι εξωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος ).
Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι:
Με πρόσθεση των σχέσεων και κατά μέλη και χρησμοποιώντας ότι
προκύπτει ότι:
.
Χρησιμοποιώντας τώρα τη γνωστή τριγωνομετρική ανισότητα
η σχέση δίνει ότι
και το ζητούμενο δείχθηκε.
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών του αντίστοιχα.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες