ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ-ΝΑΙ?!

S.E.Louridas · #1

Δίνεται γωνία xOy και δύο σημεία των πλευρών της A,B αντίστοιχα των Οχ, Οψ διάφορα του Ο.
1) Υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα KL με K σημείο της Οx και L σημείο της Οy, ώστε (KL^2-KA^2=c^2) και (KL^2-KB^2=t^2), όταν c,t δοθείσες θετικές σταθερές;
2) Είναι δυνατή (αν υπάρχει) η κατασκευή του KL; (O.Q.)

S.E.Louridas

#2

ανάλυση
Αφαιρώντας κατά μέλη τις 2 δοσμένες σχέσεις
$\displaystyle{-KA^2+KB^2=c^2-t^2}$ ή $\displaystyle{2(AB)(MC)=c^2-t^2}$ όπου Μ το μέσον της ΑΒ και C η προβολή του Κ στην ΑΒ. Έτσι ΜC=σταθ και το Κ κινείται στην κάθετο (ε) από το C προς
την ΑΒ
Η (ε) τέμνει την Αχ στο Κ και $\displaystyle{KL=\sqrt{c^2+KA^2}}$ . Η απαίτηση για να υπάρχει το KL είναι να έχει το μήκος που υπολογίσαμε και επιπλεον το $\displaystyle{L\in By}$ που σημαίνει $\displaystyle{KL\ge KS}$ όπου S η προβολή το Κ στην By

Διερεύνηση
Θεωρούμε οτι l>d δηλαδή OΒ>OΑ και όμοια μελετάμε όταν l<d. Στο τέλος θα εξετάσου
με τι γίνεται όταν l=d
1) Δεδομένα θεωρούμε τα $\displaystyle{(OA)=d,(OB)=l,\widehat{xOy}=\phi,c ,t}$ και έστω D η προβολή του Ο στην ΑΒ
2) Θα διακρίνουμε 3 περιπτώσεις a) $\displaystyle{\phi<90^o}$ ,b) $\displaystyle{\phi>90^o}$ , c) $\displaystyle{\phi=90^o}$
3) η a πρεπει και αυτή να χωριστεί στα τρία a1) $\displaystyle{\theta<90^o}$ ,a2) $\displaystyle{\theta>90^o}$ ,a3) $\displaystyle{\theta=90^o}$ , όπου $\displaystyle{\theta=\widehat{BAO}}$

a1. φ,θ οξείες τότε πρέπει $\displaystyle{MC>MD}$ οπότε η (ε) συναντά σε μοναδικό σημείο Κ την ημιευθεία Αχ (αλλιώς δεν έχει λύση) . Τα MC,MD υπολογίζονται από 2ο θ. διαμέων στα τρίγωνα ΚΑΒ,ΟΑΒ δεδομένου ότι $\displaystyle{-KA^2+KB^2=c^2-t^2}$
Πρέπει ακόμη $\displaystyle{KL\ge KS}$ όπου $\displaystyle{KS=(d-AK)sin\phi,ΚL=\sqrt{c^2+AK^2},AK=\frac{AC}{sin\theta}=\frac{(AB)/2-MC}{sin\theta}}$ το ΑΒ από νόμο cos στο ΑΟΒ και το MC από την $\displaystyle{2(AB)(MC)=c^2-t^2}$
(Λιγάκι κουραστικό δεν νομίζεις Σωτήρη? Πάντως όμορφη σύλληψη!!)
Αφήνω λοιπόν τις υπόλοιπες περιπτώσεις που μελετώνται με παρόμοιο τρόπο

Ακολουθεί
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
οι οποίες όμως δεν παρουσιαζουν δυσκολίες

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ-ΝΑΙ?!

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ-ΝΑΙ?!

Re: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ-ΝΑΙ?!

Μέλη σε σύνδεση