Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου

#1

...

Ένα ημικύκλιο με διάμετρο

πάνω στην πλευρά

ενός τριγώνου ABC

εφάπτεται στις πλευρές AB,AC

στα σημεία Q,P

αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής

των

ανήκει στο ύψος του τριγώνου ABC

από την κορυφή

.

S.E.Louridas · #2

Απλά Φωτεινή θέλω, συνειρμικά (με βάση την πανέμορφη άσκηση που πρότεινες) να καταθέσω, ότι σε τρίγωνο K'EF με ύψη EP, FQ και ορθόκεντρο Κ , αν Z το μέσο του K'Κ τότε οι ZQ, ZP είναι εφαπτόμενες του κύκλου με διάμετρο EF και αυτό επειδή <ZQΚ=<ZΚQ=<QEF …..

* Απλά διόρθωσα τα σύμβολα γιά να το συσχετίσω και εμφανισιακά με το πρόβλημα της Φωτεινής βάζοντας κάποιους τόνους

S.E.Louridas

Σακης · #3

Έστω $S\equiv{EQ\cap{FP}}$
Από θεώρημα Pascal στο εκφυλισμένο εξάγωνο QQEPPF

προκύπτει ότι τα K,A,S

είναι συνευθειακά.
Φανερά το

είναι ορθόκεντρο του SEF

.
Αρα $AK\perp{EF}$ .

#4

Μια και πιάσαμε τα βαριά όπλα ...............

Σχόλια

Αν οι ευθείες PQ,BC τέμνονται στο Z, και οι FP, EQ στο Η , τότε :

α) το Α βρίσκεται στη πολική του Ζ που είναι η ΑΗ και είναι κάθετη στην BC.

β) Το Κ βρίσκεται στην πολική του Ζ, από το πλήρες τετράπλευρο KPHQ|EF.

O όλος σχηματισμός είναι αρμονικός - πολικός και αυτή είναι και η καταγωγή της άσκησης.
Έχουμε όμως και άλλες λύσεις( Δείτε και Βαλκανιάδα Νέων - Θέμα προταθέν από Αλβανία).

Μπάμπης

#5

Μια λύση με αντιστροφή.

: Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου.jpg (55.89 KiB) Προβλήθηκε 1196 φορές

Σχήμα 1 (Θεωρούμε μόνον την

)

Αντιστρέφουμε το σχήμα με πόλο την κορυφή

και λόγο αντιστροφής την δύναμη του

ως προς τον κύκλο που αντιστοιχεί στο ημικύκλιο

, δηλαδή $\displaystyle{\lambda = A{P^2}}$ . Τότε ο κύκλος διαμέτρου

παραμένει αμετάβλητος, το σημείο

παραμένει αμετάβλητο και ισχύει ο μετασχηματισμός $\displaystyle{E \leftrightarrow Z}$ .
Επομένως η

μετασχηματίζεται στον κύκλο $\displaystyle{{c_1}}$ περιγεγραμμένο του τριγώνου AZP

, κέντρου

. Αν

είναι το άλλο σημείο τομής του $\displaystyle{{c_1}}$ με την

τότε το σημείο

παραμένει αμετάβλητο, επομένως $\displaystyle{A{K^2} = \lambda = A{P^2} \Rightarrow AK = AP}$ .
Ισχύει $\displaystyle{AN \bot EP}$ (Το κέντρο κύκλου που αντιστρέφεται σε ευθεία βρίσκεται στην κάθετο από τον πόλο προς την ευθεία), άρα

μεσοκάθετος του

.
Επίσης $\displaystyle{\hat \omega = \hat \varphi }$ (γωνία εφαπτομένης και χορδής ίση με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη), άρα $\displaystyle{\hat \theta = \hat \zeta }$ (συμπληρωματικές ίσων γωνιών), δηλαδή $\displaystyle{\hat \psi = \hat \theta = \hat \zeta }$ που σημαίνει $\displaystyle{AK \bot BC}$ και μάλιστα $\displaystyle{AK = AP = AQ}$ .

Σχήμα 2
Κάνοντας τα ίδια και στην χορδή

, βρίσκουμε ότι ο κύκλος $\displaystyle{{c_2}}$ (περιγεγραμμένος του τριγώνου AHQ

) τέμνει την

στο ίδιο σημείο

( $\displaystyle{AK \bot BC}$ και $\displaystyle{AK = AP = AQ}$ ). Τελικά οι $\displaystyle{EP{\text{ \& }}FQ}$ τέμνονται στο

(σημείο του ύψους του τριγώνου ABC

από την κορυφή

).

Επιπρόσθετα (Προκύπτουν από την ανάλυση μέσω αντιστροφής)
1) Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{AZP{\text{ \& }}AHQ}$ , καθώς και οι $\displaystyle{EP{\text{ \& }}FQ}$ , συντρέχουν στο σημείο

.
2) Οι χορδές $\displaystyle{FZ{\text{ \& }}EH}$ συντρέχουν επί του ύψους

.
3) Οι χορδές $\displaystyle{PZ{\text{ \& }}QH}$ συντρέχουν επί του ύψους

.
4) Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{AEH{\text{ \& }}AFZ}$ τέμνονται επί του ύψους

.
5) .. και άλλα.

S.E.Louridas · #6

Στοιχειωδώς και συνεχίζοντας την συνειρμική τοποθέτηση μου (πάνω)...... θεωρώντας σαν Κ' το σημείο τομής των EQ ,FP στην άσκηση της Φωτεινής είναι άμεσο να δεί κανείς ότι το εκεί Ζ (της τοποθέτησης μου) είναι το εδώ Α της άσκησης της Φωτεινής, οπότε τελειώσαμε.

* Είναι βέβαια καθαρό το οτι: $\hat{EPF}=\hat{EQF}=\frac{\pi }{2}$

S.E.Louridas

#7

Ευχαριστώ πολύ όλους τους

που ασχολήθηκαν με την άσκηση που πρότεινα

Καλή σας μέρα

S.E.Louridas · #8

Οταν ασχολούμαστε με καλές ασκήσεις, έχω την αίσθηση, τουλάχιστον όσο με αφορά, ότι κερδίζουμε πρώτα από όλους εμείς που ασχολούμαστε με αυτές. Συμπληρώνοντας θά ήθελα να αναφέρω ένα γενικώτερο πιστεύω μου:
Πιστεύω ακράδαντα γιά διδακτικούς λόγους αλλά και γιά λόγους Μαθηματικού Πλουραλισμού, ότι είναι καλό να υπάρχουν πολλές λύσεις αφού έτσι στοχεύουμε και στον υποκειμενισμό τών λυτών που μας παρακολουθούν. Γιά τον λόγο αυτό έχω την πεποίθηση ότι όσο πιό πολλές λύσεις προκύπτουν ή πιθανόν να υπάρχουν, θά ήταν καλό να εκτίθενται.

S.E.Louridas

Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου

Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου

Re: Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου

Re: Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου

Re: Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου

Re: Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου

Re: Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου

Re: Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου

Re: Σημείο Κ-στο ύψος τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση