Μία παρατήρηση του Blundon!

#1

Το παρακάτω πρόβλημα του W.J. Blundon, αν και (νομίζω) δεν είναι διαγωνιστικού χαρακτήρα, πιστεύω ανήκει σε αυτόν το φάκελο.

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με ημιπερίμετρο $\displaystyle{s}$ , ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου $\displaystyle{R}$ και ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $\displaystyle{r}$ . Να αποδειχθεί, ότι το τρίγωνο έχει μία γωνία μέτρου $\displaystyle{\theta}$ , αν και μόνο αν ισχύει

$\displaystyle{\boxed{s=2R\sin \theta+r\cot \frac{\theta}{2}.}}$

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ:

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{ABC}$ ορθογώνιο $\displaystyle{\Leftrightarrow s=2R+r}$ (γνωστό αποτέλεσμα)

$\displaystyle{\bullet}$ μία γωνία του $\displaystyle{ABC}$ ισούται με $\displaystyle{60^0}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow s=\sqrt{3}(R+r)}$ (αυτό το συναντήσαμε εδώ και εδώ.)

$\displaystyle{\bullet}$ μία γωνία του $\displaystyle{ABC}$ ισούται με $\displaystyle{30^0}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow s=R+(2+\sqrt{3})r}$

κ.τ.λ.

#2

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι η δοσμένη συνθήκη είναι αναγκαία.

Από το Νόμο των Ημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AID}$ (όπου $\displaystyle{D}$ είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με την πλευρά $\displaystyle{AB}$ ) προκύπτει ότι:

$\displaystyle{s = a + \left( {s - a} \right) = 2R\sin A + r\cot \frac{A}{2}.}$

Όμοια, βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{s = 2R\sin B + r\cot \frac{B}{2}}$

και

$\displaystyle{s = 2R\sin C + r\cot \frac{C}{2}.}$

Θα αποδείξουμε τώρα ότι η συνθήκη είναι και ικανή.

Έστω $\displaystyle{x = \cos \frac{\theta }{2}.}$ Τότε, έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{s = 2R\sin \theta + r\cot \frac{\theta }{2} \Leftrightarrow s = 4Rx\sqrt {1 - {x^2}} + \frac{{rx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow s\sqrt {1 - {x^2}} = 4Rx\left( {1 - {x^2}} \right) + rx \Leftrightarrow {s^2}\left( {1 - {x^2}} \right) = 16{R^2}{x^2}{\left( {1 - {x^2}} \right)^2} + 8Rr{x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) + {r^2}{x^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\boxed{16{R^2}{x^6} - 8R\left( {4R + r} \right){x^4} + \left[ {{s^2} + {{\left( {4R + r} \right)}^2}} \right]{x^2} - {s^2} = 0}.}$ (*)

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση (*) εμφανίζει τρεις εναλλαγές προσήμου των (μη μηδενικών) συντελεστών της. Άρα, από τον κανόνα προσήμων του Descartes, η εξίσωση (*) έχει το πολύ τρεις θετικές ρίζες (εδώ μια διπλή ρίζα μετράει ως δύο ρίζες και μια τριπλή ως τρεις).

Δείξαμε όμως παραπάνω ότι οι (θετικοί) αριθμοί $\displaystyle{\cos \frac{A}{2},}$ $\displaystyle{\cos \frac{B}{2}}$ και $\displaystyle{\cos \frac{C}{2}}$ είναι θετικές ρίζες της εξίσωσης (*).

Επομένως, αν ο αριθμός $\displaystyle{\theta }$ ικανοποιεί τη σχέση $\displaystyle{s = 2R\sin \theta + r\cot \frac{\theta }{2},}$ τότε ο αριθμός $\displaystyle{\cos \frac{\theta }{2}}$ είναι ένας από τους $\displaystyle{ \cos \frac{A}{2}, \cos \frac{B}{2},\cos \frac{C}{2},}$ άρα και ο $\displaystyle{\theta }$ θα είναι ένας από τους $\displaystyle{A,B,C.}$

***** Θάνο, έχεις υπόψη σου κάποιον απλούστερο τρόπο;

#3

Βαγγέλη, πολύ ωραία η αντιμετώπισή σου. Ουσιαστικά η ίδια υπάρχει και στο 5ο τεύχος του έτους 1984 του Mathematics Magazine, από τους Leon Bankoff και Charles Trigg. Αυτοί οι δύο, λοιπόν, έδωσαν αυτή την ομορφότερη απόδειξη σε θέμα, το οποίο είχε απασχολήσει τον W.J.Blundon στο 5ο τεύχος του έτους 1967 του American Mathematical Monthly. Εκεί, η απόδειξη ήταν σε γενικές γραμμές η ακόλουθη:

Το τρίγωνο έχει τουλάχιστον μία γωνία του ίση με $\displaystyle{\theta}$ αν και μόνο αν ισχύει

$\displaystyle{(\cos A-\cos \theta)(\cos B-\cos \theta)(\cos C-\cos \theta)=0}$ .

Αναπτύσσοντας αυτή τη σχέση και γράφοντάς την ως πολυώνυμο του $\displaystyle{\cos \theta}$ , βρίσκουμε με χρήση των γνωστών σχέσεων για τα

$\displaystyle{\sum \cos A, \sum \cos B\cos C, \prod \cos A}$ ,

$\displaystyle{\boxed{4R^2\cos ^{3}\theta -4(R^2+Rr)\cos ^{2}\theta +(s^2-4R^2+r^2)\cos \theta -(s^2-4R^2-4Rr-r^2)=0}}$ .

Λύνοντας αυτή τη σχέση ως προς $\displaystyle{s^2}$ και μετά ως προς $\displaystyle{s}$ προκύπτει η ζητούμενη συνθήκη.

Μία παρατήρηση του Blundon!

Μία παρατήρηση του Blundon!

Re: Μία παρατήρηση του Blundon!

Re: Μία παρατήρηση του Blundon!

Μέλη σε σύνδεση