Κατασκευή !!

S.E.Louridas · #1

Δίνεται ευθεία (ε) και σημείο Α εκτός αυτής. Θεωρούμε γωνία xΑy σταθερού μέτρου περιστρεφόμενη περί το Α και που οι πλευρές της στην τυχούσα θέση τέμνουν την (ε) στα σημεία Β, Γ. Να βρεθεί, κατασκευαστικά,
1) H θέση που το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ θα ισούται με δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.
2) H θέση που το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ είναι ελάχιστο.
3) Η θέση που το γινόμενο (ΑΒ)(ΒΓ), να είναι δοθέν

S.E.Louridas

#2

: LouKa.jpg (33.2 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

Ανάλυση: Το σημείο

απέχει σταθερή απόσταση $\displaystyle{\upsilon }$ (ως σταθερό) από την ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ , άρα βρίσκεται σε σταθερή ευθεία $\displaystyle{\left( \eta \right)}$ , παράλληλη της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ σε απόσταση $\displaystyle{\upsilon }$ απ‘ αυτήν. Το σημείο

«βλέπει» το τμήμα $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ , μήκους $\displaystyle{\lambda }$ , με σταθερή γωνία $\displaystyle{\hat \omega }$ , άρα βρίσκεται σε κύκλο που δέχεται χορδή ίση με $\displaystyle{\lambda }$ και εγγεγραμμένη αντίστοιχη γωνία ίση με $\displaystyle{\hat \omega }$ .

Σύνθεση: Επί της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ τοποθετούμε τμήμα $\displaystyle{{\rm B}'\Gamma '}$ ίσο με $\displaystyle{\lambda }$ , φέρουμε τμήμα κύκλου τα σημεία του οποίου να «βλέπουν» το $\displaystyle{{\rm B}'\Gamma '}$ υπό γωνία $\displaystyle{\hat \omega }$ , φέρουμε ευθεία $\displaystyle{\left( \eta \right)}$ παράλληλη της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ σε απόσταση ίση με $\displaystyle{\upsilon }$ . Αν η $\displaystyle{\left( \eta \right)}$ τέμνει τον προηγούμενο κύκλο στα σημεία $\displaystyle{{\rm A}'{\text{ \& }}{\rm A}''}$ κάνουμε παράλληλη μεταφορά των τριγώνων $\displaystyle{{\rm A}'{\rm B}'\Gamma '{\text{ \& }}{\rm A}''{\rm B}'\Gamma '}$ , ώστε να συμπέσουν τα $\displaystyle{{\rm A}'}$ με το

ή το $\displaystyle{{\rm A}''}$ με το

. Οι προκύπτουσες κατασκευές είναι οι ζητούμενες.
Αν η $\displaystyle{\left( \eta \right)}$ δεν τέμνει τον κύκλο δεν υπάρχει λύση, αν εφάπτεται έχουμε μια λύση.

Για το ερωτήμα 2) αρκεί να κατασκευάσουμε ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή το σημείο

με $\displaystyle{\hat {\rm A} = \hat \omega }$ και την $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ επί της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ ενώ το ερώτημα 3) συμπίπτει με το 1) .. (βέβαια αυτά θέλουν αιτιολόγηση .. αλλά είναι απλή θαρρώ, μέσω των τύπων του εμβαδού τριγώνου).

Κατασκευή !!

Κατασκευή !!

Re: Κατασκευή !!

Μέλη σε σύνδεση