Γεωμετρία!!

S.E.Louridas · #1

Δίνεται γωνία xOy και εσωτερικό της σημείο Α. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ με $B \in Ox,\;\Gamma \in Oy$ και με επιπλέον δεδομένα, την γωνία
$\angle {\rm B}{\rm A}\Gamma = \omega$ και το γινόμενο $AB \cdot {\rm A}\Gamma = k^2$ (ω, k>0 δεδομένα μεγέθη).

(*) Μέγιστη η σημασία των Μαθηματικών διαδικασιών της Ανάλυσης και της Διερεύνησης που συναντούμε στα προβλήματα των γεωμετρικών Κατασκευών και γεωμετρικών Τόπων.
Είναι ΕΥΡΥΤΕΡΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ διαδικασίες που οδηγούν στό κύτταρο κάθε Μαθηματικού γίγνεσθαι. Άρα μία προπονητική διαδικασία απόδοσης πάνω στις διαδικασίες αυτές είναι η ενασχόληση μας με Γεωμετρικές Κατασκευές και Γεωμετρικούς Τόπους.

S.E.Louridas

#2

S.E.Louridas έγραψε:
Μέγιστη η σημασία των Μαθηματικών διαδικασιών της Ανάλυσης και της Διερεύνησης που συναντούμε στα προβλήματα των γεωμετρικών Κατασκευών και γεωμετρικών Τόπων.
Είναι ΕΥΡΥΤΕΡΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ διαδικασίες που οδηγούν στό κύτταρο κάθε Μαθηματικού γίγνεσθαι. Άρα μία προπονητική διαδικασία απόδοσης πάνω στις διαδικασίες αυτές είναι η ενασχόληση μας με Γεωμετρικές Κατασκευές και Γεωμετρικούς Τόπους.

Συμφωνώ και επαυξάνω.

Δυστυχώς τα Μαθηματικά του Σχολείου έχουν χάσει την Ευκλείδια, με αντίκτυπο σε πολλά επίπεδα.

Το τόνισε το ΕΜΠ στο κείμενό του και το επανέλαβε στη σοφή του ανάλυση ο Σπύρος Καπελλίδης, ένας ιδιαίτερα πεπειραμένος Δάσκαλος.
viewtopic.php?f=6&t=15637&p=82065#p82065

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

S.E.Louridas · #3

► Μέρος 1. Η λύση:

Ανάλυση:Έστω ότι το τρίγωνο έχει κατασκευαστεί και το έχουμε έτσι σαν δεδομένο (το αγαπημένο μας κλισέ αφού εδώ θεωρούμε ότι όλα λειτουργού κατ’ ευχήν)
Αρχικά αντιλαμβανόμαστε ότι η κατασκευή γεωμετρικού σχήματος πάει στον κατασκευαστικό προσδιορισμό σημείου το οποίο, συνήθως, άπτεται στην διαπίστωση ότι με βάση τα του προβλήματος κινείται σε δύο γραμμές που η τομή τους μας το δίνει. Τώρα, το γινόμενο ${\rm A}{\rm B} \cdot {\rm A}\Gamma ,$ θα πρέπει να λειτουργήσει και σε αυτό μας βοηθά ότι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης η γωνία Α παραμένει σταθερή (κατά μέγεθος) άρα, αν θεωρήσουμε σημείο Δ της ΑΓ, ώστε ΑΔ=ΑΒ το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΔ παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του (Δημιουργεί δηλαδή κλάση με βάση την σχέση
$T_1 \approx T_2 ,\;T_1 ,T_2 \in \Omega \equiv \left\{ {T:T,\,\tau \rho \iota \gamma \omega \nu o} \right\}$ ) σε όλη τη διάρκεια της κίνησης, κατά συνέπεια διατηρεί τις γωνίες του. Μπένει λοιπόν το ερώτημα μήπως αυτό βοηθά σε πρώτη φάση στον προσδιορισμό κάποιας κίνησης του Δ, που λόγω αντιστροφής (από το δεδομένο γινόμενο ${\rm A}{\rm B} \cdot {\rm A}\Gamma$ ) θα έχουμε και την κίνηση του Γ, αυτά αν πάρουμε σαν βάση την κίνηση του Β στην Οx. Διατήρηση γωνιών ,αν σκεφτούμε οι γωνίες αισθάνονται φιλικά στους κύκλους γιατί μεταφέρονται με άνεση. Άρα επιχειρούμε να δούμε τι θα γίνει αν θεωρήσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο ΑΒΔ. Αν αυτός έχει κοινό σημείο με την Οx το Ε τότε παίρνουμε
$\angle AEB = \angle {\rm A}\Delta {\rm B} = 90^ \circ - \frac{{\angle BA\Gamma }}{2},$ από το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΔ. Επομένως το Ε προσδιορίζεται επί της Οx. Αλλά τότε και επειδή
$\angle {\rm A}{\rm E}\Delta = \angle {\rm A}{\rm B}\Delta = 90^ \circ - \frac{{\angle {\rm B}{\rm A}\Gamma }}{2}$ το σημείο Δ κινείται σε σταθερή ευθεία (έστω την η) που διέρχεται από το Ε και σχηματίζει με την Οx γωνία ίση με $2 \cdot \left( {90^ \circ - \frac{{\angle {\rm B}{\rm A}\Gamma }} {2}} \right) = 180^ \circ - \angle {\rm B}{\rm A}\Gamma .$ Αφού όμως το γινόμενο ${\rm A}\Delta \cdot {\rm A}\Gamma = {\rm A}{\rm B} \cdot {\rm A}\Gamma = k^2 \;\left( {\sigma \tau \alpha \theta \varepsilon \rho o} \right),$ η κορυφή Γ ανήκει ,εκτός της Οy και στο αντίστροφο σχήμα της η με αντιστροφή
$\left( {A,k^2 } \right).$ Έτσι πετύχαμε για το Γ να είναι τομή δύο σταθερών γραμμών και άρα να είναι προσδιορισταίο κατασκευαστικά.

Σύνθεση ή Κατασκευή (εννοείται με κανόνα και διαβήτη. Είναι η πιο ακριβής και λιτή διαδικασία, αφού οτιδήποτε γίνει εδώ με βάση τα βήματα που καταδείχθηκαν από την ανάλυση, θα πρέπει να τεκμηριωθεί από την Απόδειξη που θα ακολουθήσει):

Προσδιορίζουμε σημείο Ε της Οx ώστε
$\angle {\rm A}{\rm E}x = 90^ \circ - \frac{{\angle BA\Gamma }}{2}$ και σχηματίζουμε την γωνία $\angle xE\eta = 180^ \circ - \angle BA\Gamma .$ Κατασκευάζουμε $AZ \bot E\eta$ και στην ημιευθεία ΑΖ παίρνουμε σημείο Η , ώστε $AZ \cdot AH = A\Delta \cdot A\Gamma = AB \cdot A\Gamma = k^2 \Rightarrow \angle H\Gamma {\rm A} = 90^ \circ ,$ οπότε η τομή του κύκλου με διάμετρο το τμήμα ΑΗ και την Οy δίνει το σημελιο Γ. Κατασκευάζουμε τώρα, εύκολα, σημείο Β της Οx ,αφού έχουμε σαν δεδομένο την τιμή της γωνίας
$\angle BA\Gamma .$
Ακολουθούν η διαδικασία της Απόδειξης ότι δηλαδή αυτό το τρίγωνο που κατασκευάσαμε έχει τα δεδομένα (αντίστοιχη διαδικασία της επαλήθευσης) και η διαδικασία της διερεύνησης.

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #4

Μέρος 2.
Πρόβλημα:
Να βρεθούν οι συναρτήσεις
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\,\mu \varepsilon \;f\left( {xf\left( x \right) + f\left( y \right)} \right) = \left( {f\left( x \right)} \right)^2 + y,\;\forall x,y \in \mathbb{R}\;(1).$
Λύση:
Ανάλυση:
Θεωρούμε ότι ισχύει η (1) για κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών (x,y).
Για
$x = 0,\;f\left( {f\left( y \right)} \right) = \left( {f\left( 0 \right)} \right)^2 ,\forall y \in \mathbb{R}.$ Άρα για
$y = - \left( {f\left( 0 \right)} \right)^2 ,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {f\left( { - \left[ {f\left( 0 \right)} \right]^2 } \right)} \right) = 0 \Rightarrow \left( {\exists b \in \mathbb{R}} \right)\left( {f\left( b \right) = 0} \right).$ Οπότε για x=b, έχουμε: $f\left( {f\left( y \right)} \right) = y,\;\forall y \in \mathbb{R}\;\left( 2 \right).$
Αν στην υπόθεση θέσουμε στην θέση του x το f(x) παίρνουμε τελικά
$f\left( {xf\left( x \right) + f\left( y \right)} \right) = x^2 + y^2 ,\;\forall x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow$
$\left( {f\left( x \right)} \right)^2 = x^2 ,\;\forall x \in \mathbb{R}\;\left( 3 \right) \Rightarrow \left( {f\left( 1 \right) = 1} \right) \vee \left( {f\left( 1 \right) = - 1} \right)$ Άρα
$f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow f\left( {1 + f\left( y \right)} \right) = 1 + y,\forall y \in \mathbb{R}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \left( {1 + f\left( y \right)} \right)^2 = \left( {1 + y} \right)^2 \Rightarrow \left( {\forall y \in \mathbb{R}} \right)\left( {f\left( y \right) = y} \right).$
Εδώ επισημένουμε την απόρριψη της
$f\left( y \right) = - 2 - y,\forall y \in \mathbb{R},\;\alpha \pi o\;f\left( 1 \right) = 1.$
Όμοια αν
$f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow ... \Rightarrow \left( {\forall y \in \mathbb{R}} \right)\left( {f\left( y \right) = - y} \right).$
Σύνθεση:
Οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {i)\;f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},f\left( x \right) = x} \\ {ii)\,f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},f\left( x \right) = -x} \\ \end{array} } \right.$
Απόδειξη:
Οι i), ii) επαληθεύουν την (1).
Παρατήρηση:
Από την σχέση (3) και επειδή ΔΕΝ μας λένε ότι οι f είναι συνεχείς, δεν μπορούμε να πούμε «αυτόματα»
$\left( {f\left( x \right) = x,\forall x \in \mathbb{R}} \right) \vee \left( {f\left( x \right) = - x,\forall x \in \mathbb{R}} \right).$

Από Μαθηματική ουσία το Μέρος 1 με το Μέρος 2 ΔΕΝ ΔΙΑΦΕΡΟΥΝ και πράγματι αυτό δεν είναι τυχαίο.
Παρ' όλο που:
Το Μέρος 1…..ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Το Μέρος 2…..ΑΝΑΛΥΣΗ.
Πιστεύοντας ότι κατάφερα να περάσω το μήνυμα,

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #5

Απλά γιά λόγους Δεοντολογίας η συναρτησιακή πού είδατε είναι ένα πανέμορφο πράγματι θέμα αλλά και με ενδιαφέρουσα ιστορία, αφού:
Είχε τεθεί, γιά πρώτη φορά, σαν 4ο θέμα στην 14η Β.Μ.Ο. (Καλαμπάκα 1997), όπου αρχηγός της Ελληνικής ομάδας ήταν ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ
Μιχάλης Λάμπρου και υπαρχηγό τον Δημήτρη Κοντογιάννη και όπου η ομάδα μας είχε πάρει την πολύ καλή 3η θέση, αλλά επίσης είχε μπεί και σαν 1ο θέμα και στην 17η Β.Μ.Ο. (Μολδαβία 2000).

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #6

Επιτρέψτε μου να ευχυθώ ανήμερα του Αγίου Κωνσταντίνου και Ελένης (Σε πολύεδρο: Κορυφές+Εδρες=Ακμές+2 (Euler)),η εκπληκτική πρωτοβουλία του Ε.Μ.Π. (χθεσινή ημερίδα) από το οποίο έχουν περάσει Τεράστια ονόματα Γεωμετρών όπως εκείνα των Ιωαννίδη, Λαδόπουλου και άλλων Μεγάλων, να μήν είναι μία μόνο στιγμή, αλλά να είναι το πεδίο τιμών μίας συνεχούς και αυστηρά αύξουσας συνάρτησης που το πεδίο αυτό τιμών να μην είναι μονοσύνολο.
Τότε μόνο θα ελπίζουμε σε φως!!!!!

S.E.Louridas

#7

S.E.Louridas έγραψε: ... Σε πολύεδρο: Κορυφές+Εδρες=Ακμές+2 (Euler)),....
S.E.Louridas

Επομένως, επειδή και το ποδόσφαιρο θέλει μαθηματικά, με πόσα κανονικά πεντάγωνα και πόσα κανονικά εξάγωνα κατασκευάζεται η μπάλα;

S.E.Louridas έγραψε: ....Τεράστια ονόματα Γεωμετρών όπως εκείνα των Ιωαννίδη, Λαδόπουλου και άλλων Μεγάλων, να μήν είναι μία μόνο στιγμή, αλλά να είναι το πεδίο τιμών μίας συνεχούς και αυστηρά αύξουσας συνάρτησης που το πεδίο αυτό τιμών να μην είναι μονοσύνολο.
Τότε μόνο θα ελπίζουμε σε φως!!!!!
S.E.Louridas

Σωτήρη, παρότι τα είπες όλα με την μία, έχω την αίσθηση ότι το θέμα δεν έκλεισε!

S.E.Louridas · #8

Φίλε Κώστα
Μακάρι το θέμα να μην έκλεισε εδώ, μακάρι. Αλλά και εγώ από την πλευρά μου έχω την αίσθηση ότι στις μέρες μας το κυρίαρχο γίγνεσθαι είναι κάποιες στιγμές μόνο παρεμβάσεων (καλές μεν στιγμιαίες δε, όπως με το στύλ της εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση που η κατάδειξη των προβλημάτων που όντως υπάρχουν αρχίζει και τελειώνει μία με δύο μέρες μετά τις γραπτές εξετάσεις και πάλι του χρόνου νάμαστε καλά με πύρινους λόγους και αναλύσεις ζηλευτές).
Επομένως είναι Πράγματι καλό-άριστο η Γεωμετρία μας να πάρει την θέση που της ανήκει, χωρίς να κινδυνεύσει να χαρακτηριστεί δύσκολη - απόμακρη με υπέρμετρα πολύ ύλη που ενώ πρακτικά δεν μπορεί να γίνει, παρ΄όλα αυτά να εκτίθεται στο βιβλίο που διδάσκονται οι Μαθητές, με αποτέλεσμα να τρομάζει.
Αλλά και μιλώ Γενικώτερα άρα και γιά την Γεωμετρία μας, γιά να γίνει αυτό απαιτούνται ισχυρά Σχολικά βιβλία του αντίστοιχου αντικειμένου, γραμμένα από συγγραφείς που να έχουν σχέση με το αντίστοιχο αντικείμενο ΑΠΟΔΕΔΕΙΓΜΕΝΑ τουλάχιστον με πολλά δείγματα Γραφής όπως γιά παράδειγμα εδώ στην οικογένεια μας το mathematica και όχι μόνο, αλλά ΑΠΟΔΕΔΕΙΓΜΕΝΑ και βέβαια όχι από συγγραφείς on the other hand που πιθανόν να προκύπτουν από παράξενες επιτροπές.

S.E.Louridas

ykerasar · #9

Φίλε Σωτήρη, παρακολουθώ το θέμα που έθεσες και συμφωνώ με την αγανάκτησή σου. Όμως, Σωτήρη, ακριβώς αυτό επιδιώκεται: η αγανάκτηση και τελικά η παραίτηση.
Σχετικά με τη Γεωμετρία, συμφωνώ μαζί σου, ότι είναι ‘’το μάθημα των μαθημάτων’’. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσω μια λεπτομέρεια: η Γεωμετρία που διδασκόμαστε σήμερα, δεν έχει τον παιδευτικό χαρακτήρα που είχε η αντίστοιχη των δικών μας σχολικών χρόνων. Ο λόγος είναι απλός: η σημερινή Γεωμετρία έχει ενσωματώσει για τα καλά τις μεθόδους της Ανάλυσης, της Αναλυτικής Γεωμετρίας και την Τριγωνομετρία. Θα μπορούσα να ισχυριστώ πως εδώ έχουμε να κάνουμε όχι με ευκλείδεια Γεωμετρία. Θα μπορούσαμε να επιχειρηματολογούμε ασταμάτητα, σχετικά μ’ αυτό το χαρακτηριστικό της σημερινής Γεωμετρίας.
Σωτήρη, σημαντικές ενότητες μπορεί να είναι: Οι αναλογίες, οι σημειακοί μετασχηματισμοί (όχι με τη μορφή που δόθηκαν παλιότερα), οι γεωμετρικοί τόποι, οι κατασκευές, οι μετασχηματισμοί σχημάτων (άρα και των εμβαδών τους), η στερεομετρία (βλέποντας τα στερεά σε κωνογενή και πρισματογενή)….
Στην ημερίδα της ΣΕΜΦΕ (όπου έλαβα μέρος) αποφασίστηκε πως στο «νέο σχολείο», όπως το βλέπουμε εμείς, η Ευκλείδεια Γεωμετρία θα άρει τη θέση που της ανήκει. Από τα διδασκόμενα ‘’μαθηματικά’’ η Γεωμετρία του Ευκλείδη οξύνει την κρίση.
Σωτήρη, σε επόμενο σημείωμά μου θα επανέλθω με λεπτομέρειες (για του λόγου το αληθές)
Γιάννης Κερασαρίδης

S.E.Louridas · #10

Επιτρέψτε μου να εκφράσω την Απόλυτη Προσέγγιση μου πρός τίς απόψεις των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μιχάλη Λάμπρου, Σπύρου Καπελλίδη, Γιάννη Κερασαρίδη, όσο αφορά τον τρόπο της Μέγιστης Απόδοσης της Μαθηματικής Σκέψης μέσω της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας καθ' όλη την διάρκεια της δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, αλλά και κατά την άποψή μου και στά Μαθηματικά τμήματα και τα Πολυτεχνεία (Η μαθηματική κοινότητα πρέπει να ευχαριστεί τον Μιχάλη Λάμπρου που στο Πανεπιστήμιο της Κρήτης κινήται εδώ και καιρό προς την κατεύθυνση αυτή). Η μέθοδος της εξάντλησης του Τεράστιου Αρχιμήδη είναι Γεωμετρική μέθοδος και αυτό λέει πολλά γιά αυτούς που παίρνουν χαμπάρι (επί της ουσίας βέβαια).
Είναι προφανές ότι Επιστήμη και μάλλιστα Μαθηματική Επιστήμη δεν μπορεί να σημαίνει Σκοπιμότητα. Είναι Αναγκαιότητα γιά την επιβίωση μέσω της προόδου.
Δεν μπορεί να είναι μειωμένης αντίληψης οι Μεγάλοι σύγχρονοι, διεθνούς κύρους, Μαθηματικοί που ασχολούνται με την επιλογή των Μαθηματικών Ταλέντων που αυτά με την σειρά τους κοσμούν τα Μεγαλύτερα Μαθηματικά και ερευνητικά τμήματα του κόσμου που γιά την διαδικασία επιλογής των ταλέντων αυτών δίνουν Μέγιστο ρόλο σε γεωμετρικό περιβάλλον (Στην Β.Μ.Ο.,από τα 4 θέματα τα 2 Γεωμετρίας, στίς Ι.Μ.Ο. τα 2 θέματα επίσης Γεωμετρίας).

S.E.Louridas

#11

Αγαπητοί φίλοι,

Ίσως να είναι απλούστερη αλλά βαθύτερη η σχέση της Γεωμετρίας, όπως την θεμελίωσαν οι αρχαίοι Μύστες, με την ανθρώπινη ύπαρξη και, γιατί όχι, με την όλη Δημιουργία.

Ο Πλάτωνας ορίζει: «δίκαιον και ισότης εστί γεωμετρία» και η προτροπή του: «μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην», είναι ίδια με το «Εκάς, εκάς οι βέβηλοι. Μη χωρείν είσω των αδύτων αμυήτοις ούσιν» και το «τας θύρας , τας θύρας κλείσατε», που ανακοίνωναν την έναρξη των τελετουργικών Θεουργιών.

Φαίνεται ότι ο Πλάτωνας πίστευε στον ύπαρξη του κόσμου των ιδεών, ότι είμαστε δεσμώτες της ύλης, καταδικασμένοι - στην παρούσα φάση της εξέλιξής μας-, να βλέπουμε αντανακλάσεις της αλήθειας, ωσάν σκιές.

Αρκετοί λένε, ότι με την περίφημη αλληγορία του με την σπηλιά, έθεσε τα θεμέλια του σύγχρονου πολιτισμού, αποσιώπησε, όμως, το μυστικό με το οποίο αναπτύσσουμε την ικανότητα να φτάσουμε στην αλήθεια. Το αποκαλύπτει στον Τίμαιο, καθώς αντιστοιχίζει τις στοιχειακές δυνάμεις που συγκροτούν τον κόσμο με τα πέντε στερεά του.

Το αποκαλύπτει στην επιγραφή: μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην….

S.E.Louridas · #12

Απλά θά ήθελα να αναφέρω με έμφαση ότι στο έμβλημα αλλά και στη σφραγίδα της Α.Μ.S (American Mathematica Sosiety) ME ΑΡΧΑΙΑ EΛΛHNIKA!!!!!! (σε σχήμα Π,..., μήπως ταυτόχρονα στοχεύοντας τον Άγιο αριθμό 3,14...; ) έχουν γραμμένο το ίδιο λογότυπο με εκείνο της σχολής του Πλάτωνα που ανέφερε ο Κώστας (rek2).

(*) ΕΡΩΤΗΜΑ: Είναι άραγε και αυτοί μειωμένης Επιστημονικής Μαθηματικής αντίληψης;

S.E.Louridas

Γεωμετρία!!

Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Re: Γεωμετρία!!

Μέλη σε σύνδεση