Μονον με διαβήτη

[R BORIS]

Δίνονται 4 σημεία Α,Β,Γ,Δ άκρα δυο τεμνόμενων ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ
Μπορείτε με την χρήση μόνον του διαβήτη να κατασκευάσετε το σημείο τομής τους, έστω Κ
Αν όχι γιατί; Αν ναί πως;
(έχω μια λύση αλλά μου φαίνεται μάλλον πολύπλοκη και θα την ανεβάσω αν δεν υπάρξουν απλούστερες)

[Mihalis_Lambrou]

Δίνονται 4 σημεία Α,Β,Γ,Δ άκρα δυο τεμνόμενων ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ
Μπορείτε με την χρήση μόνον του διαβήτη να κατασκευάσετε το σημείο τομής τους, έστω Κ
Αν όχι γιατί; Αν ναί πως;
(έχω μια λύση αλλά μου φαίνεται μάλλον πολύπλοκη και θα την ανεβάσω αν δεν υπάρξουν απλούστερες)

Πρόκειται για κατασκευή Mascheroni-Mohr η οποία, όπως είναι γνωστό, δίνει όλες τις κατασκευές που γίνονται με κανόνα και διαβήτη.

Όμως, τα βήματα είναι συχνά επίπονα. Δίνω μία κατασκευή του συγκεκριμένου, αλλά θα θεωρήσω ως δεδομένο ότι ο αναγνώστης ξέρει να
κάνει κάποιες από τις «βασικές» κατασκευές. Παρακάτω θα τις αναφέρω ρητά, όταν τις χρησιμοποιώ.

Δυστυχώς δεν έχω βιβλιογραφία να παραπέμψω. Τα ακόλουθα είναι από τις σημειώσεις μου, όταν είχα παλαιότερα ασχοληθεί με το θέμα.
Π.χ. θυμάμαι (άντε βρες το τώρα) ότι όταν κάάάάάποτε είχα την στήλη «Ο Ευκλείδης Γ’ σας απαντά» στο ομώνυμο περιοδικό της ΕΜΕ, είχα γράψει και για τις κατασκευές μόνο με διαβήτη.

Στο θέμα μας: Χωρίς βλάβη μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το ΑΔΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο και τούτο διότι
α) μπορούμε να κατασκευάσουμε μόνο με διαβήτη τα συμμετρικά Γ’, Δ’ των σημείων Γ και Δ ως προς την ΑΒ (βασική κατασκευή).
β) Το σημείο τομής Κ των ΑΒ, ΓΔ συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων του ισοσκελούς τραπεζίου Δ’ΔΓΓ’.

Νέα αρχή λοιπόν, θεωρούμε το ισοσκελές τραπέζιο ΑΓΒΔ.
Είναι ΚΒ=ΚΔ, οπότε το πρόβλημά μας τώρα είναι τα βρούμε την ακτίνα ΚΒ=ΚΔ κύκλων με κέντρα Β και Δ. Η τομή τους είναι, φυσικά, το
ζητούμενο σημείο Κ.

Προς τούτο κατασκευάζουμε τώρα το παραλληλόγραμμο ΑΒΕΓ (βασική κατασκευή). Το ΚΒ=ΚΔ είναι η τέταρτη ανάλογος της
ισότητας ΚΔ/ΔΒ = ΔΓ/ΔΕ που βγαίνει από όμοια τρίγωνα. Όμως τα ΔΒ, ΔΓ, ΔΕ είναι γνωστά, και η εύρεση τέταρτης αναλόγου
είναι από τις βασικές κατασκευές.

Αυτά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[R BORIS]

Clipboard01.png (17.84 KiB) Προβλήθηκε 2249 φορές

Θα κατασκευάσουμε τον κύκλο ΑΓΔ καθώς και το Ε
Για το περίκεντρο Ο του ΑΓΔ Θα κατασκευάσουμε πρώτα το βαρύκεντρο G και το ορθόκεντρο Η
Το G προκύπτει από τα Α και Μ μέσον της ΓΔ (1η κατασκευή) μέσω της 2ης κατασκευής αφού ΜG=MA/3
Για το Η χρειαζόμαστε τους πόδες των υψών Α΄, Γ΄, Δ΄ οι οποίοι κατασκευάζονται ως δεύτερα σημεία τομής των κύκλων με διαμέτρους τις ΑΓ-ΓΔ, ΓΔ-ΔΑ, ΔΑ-ΔΓ
Το ΗΑ΄ είναι η τέταρτη ανάλογος των ΔΑ΄,ΓΑ΄,ΑΑ΄ και έτσι το Η κατασκευάζεται ως το σημείο επαφής των (Α,ΑΑ΄-ΗΑ΄) και (Α΄, ΗΑ΄)
Τώρα το Ο κατασκευάζεται από τα Η, G με την βοήθεια της 1ης και 2ης κατασκευής επειδή ΟG=2HG

Για το Ε θέλουμε την εφαπτομένη ΒΖ του κύκλου ΑΓΔ
Το Ζ προκύπτει από τον κύκλο διαμέτρου ΟΒ και τον κύκλο ΑΓΔ
Επειδή ΒΕ=ΒΖ2/ΒΑ το Ε είναι το σημείο επαφής των (Α,ΑΒ-ΑΕ) και (Β,ΒΕ)

Τώρα αν τα τοξα ΑΘ και ΓΕ είναι ίσα και Ι το αντιδιαμετρικό του Δ (τα Θ , Ι κατασκευάζονται εύκολα) οι γωνίες ΑΚΔ και ΘΙΔ είναι ίσες οπότε από τον νόμο των ημιτόνων στο ΑΚΔ και το ορθογώνιο τρίγωνο ΘΙΔ παίρνουμε
ΑΔ/ημ(ΑΚΔ)=ΑΚημ(ΑΔΓ) άρα ΑΔΑΓ=ΑΚ.ΘΔ
Το μηκος ΑΚ κατασκευάζεται ως η τέταρτη ανάλογος γνωστών μηκών και το Κ είναι το σημείο επαφής των κύκλων (Α,ΑΚ) και (Ε,ΑΕ-ΑΚ)

[Mihalis_Lambrou]

Clipboard01.png

Θα κατασκευάσουμε τον κύκλο ΑΓΔ καθώς και το Ε
Για το περίκεντρο Ο του ΑΓΔ Θα κατασκευάσουμε πρώτα το βαρύκεντρο G και το ορθόκεντρο Η
Το G προκύπτει από τα Α και Μ μέσον της ΓΔ (1η κατασκευή) μέσω της 2ης κατασκευής αφού ΜG=MA/3
Για το Η χρειαζόμαστε τους πόδες των υψών Α΄, Γ΄, Δ΄ οι οποίοι κατασκευάζονται ως δεύτερα σημεία τομής των κύκλων με διαμέτρους τις ΑΓ-ΓΔ, ΓΔ-ΔΑ, ΔΑ-ΔΓ
Το ΗΑ΄ είναι η τέταρτη ανάλογος των ΔΑ΄,ΓΑ΄,ΑΑ΄ και έτσι το Η κατασκευάζεται ως το σημείο επαφής των (Α,ΑΑ΄-ΗΑ΄) και (Α΄, ΗΑ΄)
Τώρα το Ο κατασκευάζεται από τα Η, G με την βοήθεια της 1ης και 2ης κατασκευής επειδή ΟG=2HG

Για το Ε θέλουμε την εφαπτομένη ΒΖ του κύκλου ΑΓΔ
Το Ζ προκύπτει από τον κύκλο διαμέτρου ΟΒ και τον κύκλο ΑΓΔ
Επειδή ΒΕ=ΒΖ2/ΒΑ το Ε είναι το σημείο επαφής των (Α,ΑΒ-ΑΕ) και (Β,ΒΕ)

Τώρα αν τα τοξα ΑΘ και ΓΕ είναι ίσα και Ι το αντιδιαμετρικό του Δ (τα Θ , Ι κατασκευάζονται εύκολα) οι γωνίες ΑΚΔ και ΘΙΔ είναι ίσες οπότε από τον νόμο των ημιτόνων στο ΑΚΔ και το ορθογώνιο τρίγωνο ΘΙΔ παίρνουμε
ΑΔ/ημ(ΑΚΔ)=ΑΚημ(ΑΔΓ) άρα ΑΔΑΓ=ΑΚ.ΘΔ
Το μηκος ΑΚ κατασκευάζεται ως η τέταρτη ανάλογος γνωστών μηκών και το Κ είναι το σημείο επαφής των κύκλων (Α,ΑΚ) και (Ε,ΑΕ-ΑΚ)

Καταπληκτική κατασκευή. Το βήμα που σημείωσα με κόκκινο, από μόνο του αξίζει όλο το χρυσάφι.