Κύκλος με διάμετρο το ύψος τριγώνου και εφαπτόμενες.

[vittasko]

Με διάμετρο το ύψος τριγώνου γράφουμε τον κύκλο ο οποίος τέμνει τις πλευρές του στα σημεία αντιστοίχως. Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία τέμνουν την πλευρά στα σημεία αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία περνάει από το μέσον της πλευράς

Κώστας Βήττας.

[Παναγιώτης 1729]

Αν οι ΒΕ και FC τέμνουν τον κύκλο στα X,Υ αντίστοιχα, από το αποτέλεσμα εδώ viewtopic.php?f=112&t=17257 (θα βάλω απόδειξη) τα Χ,Κ,C και Y,L,B είναι συνευθειακά, όπου Κ,L τα σημεία τομής των FF',EE' με τον κύκλο.
Αν οι CX,BY τέμνονται στο S, τα P,Q,S είναι από το θεώρημα Pascal στο FEYKLX συνευθειακά, οπότε από εδώ viewtopic.php?f=110&t=17240 τελειώσαμε.

[hsiodos]

Καλησπέρα σε όλους. Μια λύση στην ωραία άσκηση του Κώστα.

Λήμμα

Έστω AD το ύψος τριγώνου ΑBC και DF , DE τα κάθετα τμήματα προς τις ΑΒ , AC αντίστοιχα.

Αν οι ευθείες ΕΒ και FC τέμνουν τις DF , DE στα σημεία Η , L αντίστοιχα τότε ΗL // BC .

Απόδειξη

Από το εγγράψιμο FAED παίρνουμε αλλά (οξείες με κάθετες πλευρές) οπότε , δηλαδή το FECB είναι εγγράψιμο και έτσι

κύκλος με εφαπτόμενες-1.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

Τώρα: (από το τρίγωνο EBD)

Συνεπώς το FELH είναι εγγράψιμο και έτσι από όπου προκύπτει ότι HL //BC

Λύση της άσκησης

Αν οι ευθείες ΕΒ και FC τέμνουν τις DF , DE στα σημεία Η , L αντίστοιχα τότε από το παραπάνω λήμμα θα είναι ΗL // BC

Στο ορθογώνιο τρίγωνο BFD είναι FE' = E'D άρα το Ε' είναι μέσο της BD και όμοια δείχνουμε ότι το F' είναι μέσο του DC .

κύκλος με εφαπτόμενες -2.png (30.25 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

Στο τρίγωνο FDC επειδή HL // DC και FF' διάμεσος η FF' θα διέρχεται από το μέσο Q του HL .

Στο τρίγωνο BED επίσης , επειδή HL // DΒ και ΕΕ' διάμεσος η ΕΕ' θα διέρχεται από το μέσο του HL δηλαδή από το Q.

Τέλος στο τρίγωνο PBC επειδή HL // BC και PM διάμεσος η PM θα διέρχεται από το μέσο Q του HL .

Γιώργος

[Παναγιώτης 1729]

Η λύση σας είναι φοβερή.