Ανισότητα με την ακτίνα του ποδικού τριγώνου (2)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

emouroukos: Συντονιστής; Δημοσιεύσεις: 1447; Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm; Τοποθεσία: Αγρίνιο

Ανισότητα με την ακτίνα του ποδικού τριγώνου (2)

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Αύγ 23, 2011 2:22 pm

Η παρακάτω ανισότητα είναι ισχυρότερη από την ανισότητα του Γ. Τσίντσιφα που είδαμε εδώ.

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου ίση με $\displaystyle{r}$ και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου ίση με $\displaystyle{R}$ . Αν $\displaystyle{M}$ είναι τυχαίο εσωτερικό σημείο του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{{r^ * }}$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του ποδικού τριγώνου του $\displaystyle{M}$ ως προς το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ , να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\boxed{\frac{1}{{2{r^ * }}} \ge \frac{1}{R} + \frac{1}{{2r}}}}$ $(\spadesuit)$ ,

με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισόπλευρο με κέντρο $\displaystyle{M}$ .

Παρατηρούμε ότι από την $(\spadesuit)$ και την ανισότητα Euler $\displaystyle{R \ge 2r}$ προκύπτει άμεσα η ανισότητα $\displaystyle{R \ge 4{r^ * }}$ του Γ. Τσίντσιφα.

Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης