Σημεία συνευθειακά με το έγκεντρο και το περίκεντρο τριγώνου

[vittasko]

Δίνεται τρίγωνο και έστω τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του στις πλευρές αντιστοίχως. Εάν είναι τα σημεία του κύκλου συμμετρικά των ως προς τις διχοτόμους αντιστοίχως, αποδείξτε ότι τα σημεία ανήκουν στην ευθεία όπου είναι αντιστοίχως, το περίκεντρο και το έγκεντρο του

Κώστας Βήττας.

[Παναγιώτης 1729]

Πανέμορφο! Η λύση που βρήκα βασίζεται στα ακόλουθα λήμματα, τα οποία είναι γνωστά (τα δύο πρώτα), αλλά θα ανεβάσω πλήρεις αποδείξεις αργότερα γι' αυτά.

Αλλάζω για δική μου ευκολία λίγο την εκφώνηση: Έστω τρίγωνο με έκκεντρο και περίκεντρο . Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές αυτού στα αντίστοιχα. Τα είναι τα συμμετρικά σημεία των προς τις αντίστοιχα. Αν οι τέμνονται στο και οι τέμνονται στο , ν.δ.ο. τα είναι συνευθειακά.

Λήμμα 1: Το ανήκει στην ευθεία Euler του τριγώνου .
Λήμμα 2: Τα είναι ομοιόθετα. ( Υπήρξε και θέμα Imo την δεκαετία του 80 ).
Λήμμα 3: Αν οι τέμνουν τον εγγεγραμμένο κύκλο για δεύτερη φορά στα , τότε οι είναι διάμεσοι του τριγώνου . ( Απόδειξη: Η δέσμη είναι αρμονική και , άρα το λήμμα αποδείχθηκε ).
Λήμμα 4: Αν το βαρύκεντρο του τα είναι συνευθεικά. ( Η απόδειξη είναι εύκολη αν χρησιμοποιήσει κανείς το προηγούμενο λήμμα και εφαρμόσει θεώρημα Pascal ).

Από το λήμμα 1 τα είναι συνευθειακά. Από το λήμμα 2 τα είναι συνευθειακά ( , κέντρο ομοιοθεσίας εγγεγραμμένου-περιγεγραμμμένου κύκλου ). Άρα, συνευθειακά. Από το λήμμα 4, τα είναι συνευθειακά.

[Παναγιώτης 1729]

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... on+moldova
Για το πρώτο λήμμα δείτε τον παραπάνω σύνδεσμο.

[vittasko]

Το Λήμμα 1 που αναφέρεται στην ενδιαφέρουσα λύση του Παναγιώτη, έχει συζητηθεί και Εδώ.

Για τά άλλα Λήμματα έχω υπόψη μου κάποιες αποδείξεις ( μπορεί και όλες ) και θα επανέλθω αργότερα, γιατί θα ήθελα να υπάρχουν όλες οι λεπτομέρειες αυτής της απόδειξης και μακάρι να βρει χρόνο ο Παναγιώτης να γράψει πιο αναλυτικά τη σκέψη του.

Είναι αλήθεια μία δύσκολη απόδειξη, αλλά αξίζει η διαδρομή γιατί βασίζεται σε όχι τόσο γνωστά αποτελέσματα που νομίζω έχουν γενικότερο ενδιαφέρον.

Κώστας Βήττας.