Μεταβλητός κύκλος σταθερής χορδής.

#1

: Μεταβλητός κύκλος σταθερής χορδής.; f=112_t=24171.PNG (27.2 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω τυχόν σημείο επί της πλευράς του Θεωρούμε μεταβλητό σημείο επί της ευθείας και έστω τα σημεία $E\equiv AB\cap (O)$ και $F\equiv (O)\cap BP$ και $Z\equiv (O')\cap CP,$ όπου $(O),\ (O')$ είναι οι κύκλοι με διάμετρο τα $BD,\ CD,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle EFZ$ περνάει από σταθερό σημείο έστω επί του κύκλου

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Η πρόταση αυτή είναι εμπνευσμένη από Εδώ.

#2

Με χρήση αντιστροφής.[attachment=0]Vit-Sta.jpg[/attachment]Αντιστρέφουμε με πόλο το σημείο

και τυχαίο λόγο $\displaystyle{\lambda }$ . Οι κύκλοι (O)

και

αντιστρέφονται στις ευθείες $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ και $\displaystyle{\left( {\varepsilon '} \right)}$ αντίστοιχα, κάθετες στην

τέτοιες ώστε $\displaystyle{DB \cdot DB' = DC \cdot DC' = DE \cdot DE' = DF \cdot DF' = DZ \cdot DZ' = DS \cdot DS' = \lambda }$ . Το τετράπλευρο EFZS

είναι εγγράψιμμο, συνεπώς το ίδιο θα συμβαίνει και στο E'F'Z'S'

και επειδή $\displaystyle{E'F'\parallel Z'S'}$ , το E'F'Z'S'

θα είναι ισοσκελές τραπέζιο (ή ορθογώνιο), οπότε $\displaystyle{Z'\hat F'E' = S'\hat E'F'}$ . Από τα εγγράψιμμα F'FZZ'

και

προκύπτει ότι $\displaystyle{\hat \xi = F\hat ZD = F\hat PD}$ . Επίσης $\displaystyle{\hat \zeta = \hat \varphi }$ λόγω καθετότητας πλευρών, άρα $\displaystyle{\hat \xi + \hat \zeta = D\hat PB + P\hat BD = A\hat DC = ct}$ . Άρα $\displaystyle{F'\hat E'S' = A\hat DC}$ και επειδή το σημείο

είναι σταθερό για την υπόψη αντιστροφή (ανεξάρτητα της επιλογής του σημείου

), το ίδιο προκύπτει για το

. Δηλαδή το αντίστροφο του

είναι σταθερό, επομένως και το

θα είναι σταθερό.

#3

Σεραφείμ, εξαιρετική λύση.

Ωραία σκέψη, που αναδεικνύει την ομορφιά της αντιστροφής στη λύση των πιο σύνθετων προβλημάτων.

'Οπως γράφω και πιο πάνω, η πρόταση αυτή προέκυψε στην προσπάθεια για λύση του προβλήματος που πρότεινε η Φωτεινή, το οποίο μου κέντρισε το ενδιαφέρον.

Δίνω για την ώρα σε συνημμένο ( είναι το πρώτο μου κείμενο σε $\LaTeX$

), το Λήμμα στο οποίο βασίζεται η λύση που μπόρεσα, και θα επανέλθω αργότερα με όλες τις λεπτομέρειες.

Κώστας Βήττας.

Μεταβλητός κύκλος σταθερής χορδής.

Μεταβλητός κύκλος σταθερής χορδής.

Re: Μεταβλητός κύκλος σταθερής χορδής.

Re: Μεταβλητός κύκλος σταθερής χορδής.

Μέλη σε σύνδεση