Κατασκευή Σημείου

Ζήνων Λυγάτσικας · #1

Έστω

και

δύο σημεία εκτός επιπέδου (π). Να βρείτε σημεία $\Sigma$ του επιπέδου (π) έτσι ώστε το $\displaystyle{\frac{\Sigma A}{\Sigma B}}$ να είναι maximum ή minimum. (Υπ. Ενδιαφέρον είναι να βρείτε δύο λύσεις: μια αναλυτική και μια γεωμετρική.)

S.E.Louridas · #2

(1) Κατ’ αρχάς στο επίπεδο και στο πάνω σχήμα, για κάθε σημείο του

«αριστερά» της

θα υπάρχει σημείο

της

ώστε
$\frac{{SA}} {{SB}} \leqslant \frac{{MA}} {{MB}}$
και αυτό επειδή, όταν
$BS = BM \Rightarrow SA \leqslant MA$ ,
αφού το τρίγωνο BMS

είναι ισοσκελές.

(2) Αν στο πρόβλημα μας θεωρήσουμε το επίπεδο που διέρχεται από την

κάθετο στο δοθέν επίπεδο $\pi$ και θεωρήσουμε σαν

την τομή τους, με βάση
την (1) αρκεί να βρούμε σημείο

της

που να δίνει το
$t_{\min } = \frac{{SA^2 }} {{SB^2 }} < 1.$
Με βάση το κάτω σχήμα παίρνουμε:
$\frac{{x^2 + b^2 }} {{\left( {x + a} \right)^2 + c^2 }} = t\;(t < 1) \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)x^2 + 2atx + ta^2 + tc^2 - b^2 = 0.$
Από την «απαίτηση» η διακρίνουσα να είναι θετική ή μηδέν, πάμε στο ζητούμενο, που μάλιστα είναι κατασκευάσιμο.
Κατ' αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να εργαστούμε και γιά το μέγιστο.

Ζήνων Λυγάτσικας · #3

Grosso modo η μοναδικότητα και ύπαρξη των σημείων $\Sigma_1$ και $\Sigma_2$ είναι έτσι. Η κατασκευή μπορεί να επιτευχθεί με γεωμετρία και ειδικότερα με αντιστροφή. Νομίζω ότι έχει κάποιο μαθηματικό ενδιαφέρον αν και είναι σχετικά εύκολη.

S.E.Louridas · #4

1) Είναι κατανοητό ότι το πρόβλημα (το 1ο μέρος της διαπραγμάτευσης μου εκεί στόχευσε) πάει στο ίδιο πρόβλημα σε επίπεδο (κάτω σχήμα της πάνω διαπραγμάτευσης μου).

2) Είναι επίσης κατανοητό και προφανώς λογικό, ότι η θέση του σημείου

εξαρτάται, υπολογιστικά, άμεσα από τα μεγέθη a,b,c

(από την αντιμετώπιση με εργαλεία από την Αναλυτική Γεωμετρία φαίνεται πιο "μαλακά", επιλογή κατάλληλου συστήματος αξόνων κ.τ.λ.).

3) Βρίσκουμε (με κάποια μικρή επιφύλαξη λόγω πράξεων) ότι:
$t = \frac{{a^2 + b^2 + c^2 - \sqrt {\left( {a^2 + \left( {b + c} \right)^2 } \right)\left( {a^2 + \left( {b - c} \right)^2 } \right)} }} {{c^2 }} = \frac{{k^2 - l^2 }} {{c^2 }} = \left( {\frac{m} {c}} \right)^2.$
Συνεπώς αρκεί να προσδιορίσουμε το

, ώστε
$\frac{{SA}} {{SB}} = \frac{m} {c}$ .
Για αυτό αρκεί (κάτω σχήμα της πάνω διαπραγμάτευσης μου) η τομή της ευθείας

με τον Απολλώνιο κύκλο.

Ζήνων Λυγάτσικας · #5

Τώρα που η απόδειξη πήρε την οριστική της μορφή, πρέπει να την γράψω. Θα μου δώσετε όμως χρόνο γιατί η περίοδος αυτή είναι κακή, αν και χαλαρώσαμε απότομα (με τις διακοπές και τις εκλογές). Αν όμως κάποιος θελήσει να την καταγράψει και να την ολοκληρώσει, έχει όλα τα στοιχεία. Θα ήθελα να προσθέσω κάτι: όπως ήδη έχει αναφέρει ο κος Λουρίδας, υπάρχει ένα υπολογιστικό πρόβλημα και η χρήση κατάλληλου συστήματος αξόνων είναι επιβεβλημένη. Προσπαθήστε να δουλέψετε στις 3 διαστάσεις, η ευθεία h στο σχήμα μπορεί να είναι ένας τέτοιος άξονας!

Κατασκευή Σημείου

Κατασκευή Σημείου

Re: Κατασκευή Σημείου

Re: Κατασκευή Σημείου

Re: Κατασκευή Σημείου

Re: Κατασκευή Σημείου

Μέλη σε σύνδεση