Eyeball theorem (the)
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3052
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Eyeball theorem (the)
Το παρακάτω θεώρημα το βρήκα με την Αγγλική ονομασία "The Eyeball Theorem" (για αυτό άλλωστε ο Αγγλικός τίτλος). Δεν γνωρίζω αν υπάρχει Ελληνική ονομασία, αλλά όπως και να έχει το βρήκα όμορφο.
ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστωσαν δύο κύκλοι and , με κέντρα , και ακτίνες , , αντίστοιχα. Έστω ότι οι εφαπτομένες από το στο , τέμνουν τον στα σημεία και , ενώ οι εφαπτομένες από το στο , τέμνουν τον στα σημεία και . Να αποδειχθεί ότι .
ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστωσαν δύο κύκλοι and , με κέντρα , και ακτίνες , , αντίστοιχα. Έστω ότι οι εφαπτομένες από το στο , τέμνουν τον στα σημεία και , ενώ οι εφαπτομένες από το στο , τέμνουν τον στα σημεία και . Να αποδειχθεί ότι .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Eyeball theorem (the)
Αν η τέμνει την διάκεντρο στο και αν η εφαπτομένη τέμνει τον δεύτερο κύκλο στο τότε τα τρίγωνα είναι όμοια ως ορθογώνια με κοινή την γωνία . Συνεπώς και άρα . Λόγω συμμετρίας, το επίσης ισούται με , από όπου το ζητούμενο.
Φιλικά,
Μιχάλης
Φιλικά,
Μιχάλης
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Eyeball theorem (the)
Προφανώς τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Επομένως παίρνουμε:
από όπου προκύπτει ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Άρα έχουμε:
Συνεπώς και τελικά παίρνουμε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο.
Από αυτό προκύπτει και το ζητούμενο.
(*) Προσωπικά θεωρώ ότι δεν «συμπυκνώνει» τα χαρακτηριστικά Θεωρήματος.
Αυτό βέβαια δεν του στερεί τον χαρακτηρισμό «Άριστο πρόβλημα».
από όπου προκύπτει ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Άρα έχουμε:
Συνεπώς και τελικά παίρνουμε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο.
Από αυτό προκύπτει και το ζητούμενο.
(*) Προσωπικά θεωρώ ότι δεν «συμπυκνώνει» τα χαρακτηριστικά Θεωρήματος.
Αυτό βέβαια δεν του στερεί τον χαρακτηρισμό «Άριστο πρόβλημα».
- Συνημμένα
-
- aassdfgg.png (51.12 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Eyeball theorem (the)
Εναλλακτικά, εάν στο σχήμα του Σωτήρη, από όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από και το ζητούμενο έπεται, γιατί η είναι μεσοκάθετη ευθεία των
Κώστας Βήττας.
Από και το ζητούμενο έπεται, γιατί η είναι μεσοκάθετη ευθεία των
Κώστας Βήττας.
- Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2338
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
Re: Eyeball theorem (the)
Από την χώρα των Ίνκας μια εντυπωσιακή παρουσίαση του θεωρήματος
http://www.gogeometry.com/circle/eyebal ... mated.html
http://www.gogeometry.com/circle/eyebal ... mated.html
Καρδαμίτσης Σπύρος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες