Σημεία στο επίπεδο
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
Σημεία στο επίπεδο
Δοθέντος ενός φυσικού αριθμού , να αποδειχθεί ότι μπορούμε να βρούμε στο επίπεδο
σημεία , τέτοια ώστε για το οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, τουλάχιστον από τους
αριθμούς να είναι άρρητοι.
σημεία , τέτοια ώστε για το οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, τουλάχιστον από τους
αριθμούς να είναι άρρητοι.
Σπύρος Καπελλίδης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Σημεία στο επίπεδο
Η λύση μου χρησιμοποιεί αρκετές γνώσεις αριθμησιμότητας. Δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι πιο απλό.
Θα το δείξουμε για κάθε με επαγωγή στο .
Για είναι άμεσο αφού δεν χρειάζεται να δείξουμε κάτι. Έστω λοιπόν ότι ισχύει για και έστω τα σημεία που επιλέξαμε.
Έστω το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου τα οποία έχουν ρητή απόστασή από ακριβώς δύο από τα .
Ισχυριζόμαστε ότι το πλήθος των είναι αριθμήσιμο. Πράγματι, αν ορίσουμε τον κύκλο με κέντρο το και ακτίνα , τότε το είναι το σύνολο όλων των σημείων που ανήκουν σε τουλάχιστον δύο από τους . Μόνο που το πλήθος των είναι αριθμήσιμο, και κάθε δύο τέτοιοι κύκλοι έχουν το πολύ δύο σημεία τομής. Άρα όντως το είναι αριθμήσιμο.
Παρατηρούμε τώρα ότι για να ισχύει ο ισχυρισμός για αρκεί να επιλέξουμε ως ένα σημείο του επιπέδου το οποίο δεν έχει επιλεχθεί και το οποίο δεν έχει ρητή απόσταση από κανένα σημείο του .
Άρα μένει να δειχθεί ότι αν αριθμήσιμο υποσύνολο του επιπέδου, τότε υπάρχει σημείο του επιπέδου το οποίο έχει άρρητη απόσταση από όλα τα σημεία του . [Μετά παίρνουμε για να αποφύγουμε την επιλογή των και τελειώσαμε.]
Θα δείξουμε μάλιστα ότι τέτοιο σημείο μπορούμε να βρούμε σε οποιαδήποτε ευθεία του επιπέδου. Πράγματι για κάθε σημείο του , και κάθε ρητή απόσταση υπάρχουν το πολύ δύο σημεία της με απόσταση ίση με από το . Άρα μόνο πεπερασμένα σημεία της έχουν ρητή απόσταση από κάποιο σημείο της .
Οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Θα το δείξουμε για κάθε με επαγωγή στο .
Για είναι άμεσο αφού δεν χρειάζεται να δείξουμε κάτι. Έστω λοιπόν ότι ισχύει για και έστω τα σημεία που επιλέξαμε.
Έστω το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου τα οποία έχουν ρητή απόστασή από ακριβώς δύο από τα .
Ισχυριζόμαστε ότι το πλήθος των είναι αριθμήσιμο. Πράγματι, αν ορίσουμε τον κύκλο με κέντρο το και ακτίνα , τότε το είναι το σύνολο όλων των σημείων που ανήκουν σε τουλάχιστον δύο από τους . Μόνο που το πλήθος των είναι αριθμήσιμο, και κάθε δύο τέτοιοι κύκλοι έχουν το πολύ δύο σημεία τομής. Άρα όντως το είναι αριθμήσιμο.
Παρατηρούμε τώρα ότι για να ισχύει ο ισχυρισμός για αρκεί να επιλέξουμε ως ένα σημείο του επιπέδου το οποίο δεν έχει επιλεχθεί και το οποίο δεν έχει ρητή απόσταση από κανένα σημείο του .
Άρα μένει να δειχθεί ότι αν αριθμήσιμο υποσύνολο του επιπέδου, τότε υπάρχει σημείο του επιπέδου το οποίο έχει άρρητη απόσταση από όλα τα σημεία του . [Μετά παίρνουμε για να αποφύγουμε την επιλογή των και τελειώσαμε.]
Θα δείξουμε μάλιστα ότι τέτοιο σημείο μπορούμε να βρούμε σε οποιαδήποτε ευθεία του επιπέδου. Πράγματι για κάθε σημείο του , και κάθε ρητή απόσταση υπάρχουν το πολύ δύο σημεία της με απόσταση ίση με από το . Άρα μόνο πεπερασμένα σημεία της έχουν ρητή απόσταση από κάποιο σημείο της .
Οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σημεία στο επίπεδο
Πολλή κομψή η κατασκευή του Δημήτρη.s.kap έγραψε:Δοθέντος ενός φυσικού αριθμού , να αποδειχθεί ότι μπορούμε να βρούμε στο επίπεδο
σημεία , τέτοια ώστε για το οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, τουλάχιστον από τους
αριθμούς να είναι άρρητοι.
Βάζω μία στοιχειώδη:
Παίρνουμε στον άξονα των τα σημεία . Ισχυρίζομαι ότι κάνουν την δουλειά.
Θα γίνει χρήση του Θεωρήματος Stewart που λέει ότι (βλέπε σχήμα).
Πράγματι, έστω ότι για κάποιο οι με ήσαν (και οι τρεις) ρητοί. Τότε από Stewart
που με απλοποίηση της γράφεται
.
Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί το αριστερό μέλος είναι ρητός ενώ το δεξί, άρρητος. Τελικά υπάρχουν το πολύ δύο από τα που είναι ρητοί, όπως θέλαμε.
Σχόλια: (1) Η απόδειξη λέει, λίγο γενικότερα, ότι για κάθε όχι μόνο το πολύ δύο από τους είναι ρητοί αλλά το πολύ δύο από τους είναι ρητοί.
(2) Η κατασκευή του Δημήτρη μπορεί πολύ εύκολα να προσαρμοστεί ώστε να ισχύει το λίγο γενικότερο που περιγράφτηκε στο (1). Απλά οι ακτίνες των κύκλων που χρησιμοποιεί μπορούν να ληφθούν ως όπου .
.
- Συνημμένα
-
- Stewart 2.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 1465 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες