Γεωμετρίας επί του χώρου R^3 θέμα.

S.E.Louridas · #1

Έστω ότι έχουμε δυο ασύμβατες ευθείες $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ .
Δύο σημεία A, B

κινούνται επί της ευθείας $\varepsilon_1$ , ώστε να ισχύει AB=c

, όπου

είναι δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.
Προσδιορίστε την θέση του ευθύγραμμου τμήματος

πάνω στην ευθεα $\varepsilon_1$ , ώστε το άθροισμα των αποστάσεων των σημείων A, B

από την ευθεία $\varepsilon_2$ , να λαμβάνει την ελάχιστη τιμή.

#2

Όπως δείχνει το συνημμένο, το πρόβλημα ανάγεται σε εύκολο ερώτημα επιπεδομετρίας ... και το άθροισμα d_A+d_B=|OA'|+|OB'|

ελαχιστοποιείται, υποθέτοντας $|A'B'|=c'=c\sigma \upsilon \nu \theta$ (όπου

σταθερό και $\theta$ η γωνία* ανάμεσα στην $\varepsilon _1$ και στο $\Pi$ ), όταν τα A', B'

είναι συμμετρικά αλλήλων ως προς την προβολή

του

στην προβολή $\varepsilon _1'$ της $\varepsilon _1$ στο $\Pi$ . Με άλλα λόγια, και χωρίς πλέον να αναφερόμαστε σε προβολή σε επίπεδο ( $\Pi$ ) κάθετο στην $\varepsilon _2$ , η ζητούμενη ελαχιστοποίηση επιτυγχάνεται όταν τα A, B

είναι συμμετρικά αλλήλων ως προς το σημείο C_1

της $\varepsilon _1$ , όπου |C_1C_2|

η ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στις δύο ασύμβατες.

*δυστυχώς στο σχήμα μου η $\varepsilon _1$ φαίνεται παράλληλη προς το $\Pi$ , κάτι που δεν ισχύει στην γενική περίπτωση του προβλήματος -- μαθαίνουμε από τα λάθη μας...

Γιώργος Μπαλόγλου

#3

Σκιαγραφώ και μια αναλυτική λύση:

Αν $\varepsilon _1=\left\{(s, 0, 0), s\in R \right\}$ και $\varepsilon _2=\left\{(t, mt, d), t\in R \right\}$ τότε οι αποστάσεις των σημείων (x, 0, 0)

και

της $\varepsilon _1$ από την $\varepsilon _2$ ισούνται* προς $\sqrt\displaystyle{\frac{m^2x^2}{m^2+1}+d^2}$ και $\sqrt{\displaystyle\frac{m^2(x+c)^2}{m^2+1}+d^2}$ , αντίστοιχα, οπότε ο μηδενισμός της παραγώγου της συνάρτησης-αθροίσματος οδηγεί στην εξίσωση $\displaystyle\frac{x}{\sqrt{m^2x^2+(m^2+1)d^2}}+\displaystyle\frac{x+c}{\sqrt{m^2(x+c)^2+(m^2+1)d^2}}=0$ και στην μοναδική λύση $x=-\displaystyle\frac{c}{2}$ .

*οι αποστάσεις αυτές μπορούν να υπολογιστούν είτε με χρήση εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων** είτε με ελαχιστοποίηση/παραγώγιση

**η απόσταση του σημείου (s, 0, 0)

από την ευθεία που διέρχεται από το σημείο (0, 0, d)

με διάνυσμα <1, m, 0>

ισούται προς $\displaystyle\frac{|<0-s,0-0,d-0>\times <0+1-s,0+m-0,d+0-0>|}{\sqrt{1^2+m^2+0^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{m^2s^2+(m^2+1)d^2}}{\sqrt{m^2+1}}$

Γιώργος Μπαλόγλου

Γεωμετρίας επί του χώρου R^3 θέμα.

Γεωμετρίας επί του χώρου R^3 θέμα.

Re: Γεωμετρίας επί του χώρου R^3 θέμα.

Re: Γεωμετρίας επί του χώρου R^3 θέμα.

Μέλη σε σύνδεση