Δίνεται...

[S.E.Louridas]

Δίνεται κανονική πυραμίδα . Θεωρούμε το ύψος της και σημείο του ύψους αυτού.
Από το σημείο αυτό θεωρούμε τυχόν επίπεδο που τέμνει τις ακμές στα σημεία αντίστοιχα.
Αποδείξτε ότι το άθροισμα , είναι σταθερό.

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Σωτήρη, καλησπέρα και σε ευχαριστώ που μου δίνεις την αφορμή να ασχοληθώ μετά από καιρό με τη στερεομετρία.
Θα χρησιμοποιήσω δύο λήμματα που οδηγούν στο αντίστοιχο πρόβλημα στις δύο διαστάσεις.

Λήμμα1
Αν η παράλληλη προς τις βάσεις από το σημείο τομής των διαγωνίων ενός τραπεζίου τέμνει τις μη παράλληλες πλευρές στα , τότε η είναι ο αρμονικός μέσος των δύο βάσεων και

Λήμμα2
Αν μία ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο γωνίας και τέμνει τις πλευρές στά , τότε η παράσταση είναι σταθερή και ισούται με , όπου είναι η παράλληλη προς την προβολή του στην .
Η απόδειξη του πρώτου είναι απλή άσκηση Θεωρήματος Θαλή και ομοίων τριγώνων, ενώ το δεύτερο είναι άμεσ συνέπεια του πρώτου, από το τραπέζιο .


Οι τέμνουν τις απέναντι πλευρές του τριγώνου στα που είναι ίχνη των αντίστοιχων διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι .
Έτσι, με βάση τα παραπάνω, έχουμε:
με .
Τώρα, τα επίπεδα τέμνονται σε ευθεία .
Έτσι το είναι σταθερό και , οπου η παράλληλη προς την προβολή του στην , δηλαδή σταθερό.

[S.E.Louridas]

Εγώ σε ευχαριστώ Ανδρέα που διαπραγματεύτηκες Υποδειγματικότατα το πρόβλημα κάτι που εξ άλλου για σένα είναι κανόνας.
Έχει ευρύτερη σημασία η ενασχόληση με τους τόπους και τις κατασκευές, αφού πέρα από την διαίσθηση εξασκούνται η λογική σε συνεργασία με τις αισθήσεις και την τέχνη στον τομέα αυτό και γενικότερα στην Γεωμετρία. Σκέφτεται κανείς βλέποντας και διερευνά με την βοήθεια της δημιουργικής πολύπλευρης φαντασίας, αποδεικνύοντας πάντα την αλήθεια των πεπραγμένων σαν αποτέλεσμα της σύνθεσης. Προαπαιτούμενο; Η σε βάθος (και όχι σε επίπεδο αποστήθισης) γνώση της λειτουργίας της θεωρίας. Είναι όμορφα πράγματα, Ναι.