Τμήσατε...

S.E.Louridas · #1

Τμήσατε δοθείσα τρισορθογώνιο στερεά γωνία κατά τρίγωνο ίσο προς δοθέν.

(*) Διόρθωση του ...από τρίγωνο... στο σωστό ...κατά τρίγωνο....
Ευχαριστώ τον Γιώργο Μπαλόγλου.

#2

: Τρισορθογώνια Στερεά Γωνία.PNG (27.35 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

Έστω ότι στο ανωτέρω σχήμα η τρισορθογώνια στερεά γωνία $\displaystyle{O.XYZ}$ τμήθηκε με ένα επίπεδο
στα σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ αντίστοιχα επί των ακμών $\displaystyle{OX,OY,OZ}$ έτσι ώστε το δημιουργούμενο τρίγωνο
$\displaystyle{ABC}$ να είναι ένα δοθέν, δηλαδή οι πλευρές του $\displaystyle{a,b,c}$ να είναι γνωστές(δοθέντα τμήματα με ισχύουσα
την τριγωνική ανισότητα).
Τότε θα είναι:
$\displaystyle \left.\begin{matrix} x^2+y^2=c^2\\ y^2+z^2=a^2 \\z^2+x^2=b^2 \end{matrix}\right\}\Rightarrow \left.\begin{matrix} \displaystyle x^2=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2}\\\\ \displaystyle y^2=\frac{a^2-b^2+c^2}{2} \\\\ \displaystyle z^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{2} \end{matrix}\right\}\ \ (1)$

(Το σύστημα (1) λύθηκε με πρόσθεση κατά μέλη των πρώτων εξισώσεων και με εύκολες στη συνέχεια πράξεις).

Έτσι τα άγνωστα τμήματα $\displaystyle{x,y,z}$ είναι κατασκευάσιμα και συνεπώς τα σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ είναι κατασκευάσιμα.

Κώστας Δόρτσιος

S.E.Louridas · #3

Κώστα γεια σου.
Μια άλλου τύπου διαπραγμάτευση για τον κατασκευαστικό προσδιορισμό των OA,OB,OC

, είναι να πάρουμε σαν βάση το δοθέν τρίγωνο και να παρατηρήσουμε ότι το αντίστοιχο σημείο

του σημείου

, είναι η τομή των τριών σφαιρών με διαμέτρους τις πλευρές του δεδομένου τριγώνου ABC

.
Έτσι αρκεί να προσδιορίσουμε την προβολή

του αντίστοιχου αυτού σημείου

στο επίπεδο του τριγώνου και βέβαια το μήκος του $O΄\;T$ .
Για τούτο παρατηρούμε ότι:
$\matrix {\left| {KT^2 - TL^2 } \right| = \frac{{\left| {AB^2 - BC^2 } \right|}} {4}\quad \left( 1 \right)} \\ {\left| {KT^2 - TM^2 } \right| = \frac{{\left| {AB^2 - AC^2 } \right|}} {4}\quad \left( 2 \right).} \\ \endmatrix$

Οι σχέσεις (1), (2)

με βάση την κατασκευαστική που προκύπτει από το 2ο θεώρημα της διαμέσου δίνει τα «ποθούμενα» καθότι προσδιορίζεται κατασκευαστικά το σημείο

.
Θεωρήθηκε ότι τα σημεία K,L,M

είναι τα μέσα των πλευρών AB,BC,CA

αντίστοιχα και βέβαια χρησιμοποιήθηκε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το μισό της υποτείνουσας.

(*) Ζητώντας την συμπάθεια σας που δεν έχω τις απεικονιστικές δυνατότητες του Κώστα Δόρτσιου ώστε να σας το παρουσιάσω πανοραμικά.

#4

Σωτήρη, καλησπέρα.
Αναρτώ μια λύση που στηρίζεται στη δικιά σου ιδέα και με σχήματα από το Cabri3D.

Τα σχήματα εξελλίσουν τη όλη σκέψη:

1ο) Η τομή δυο σφαιρών είναι κύκλος το επίπεδο του οποίου είναι κάθετο στη διάκεντρο
και συνεπώς κάθετο σε κάθε επίπεδο που περιέχει τη διάκεντρο αυτή.

: Σφαίρες 4.PNG (207.28 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

2ο) Κατασκευάζω με διαμέτρους τις πλευρές του δοθέντος τριγώνου τις τρεις σφαίρες, την καφετί, τη γαλάζια και την πράσινη.

: Σφαίρες 1.PNG (105.4 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

: Σφαίρες 2.PNG (249.39 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

3ο) Προσεκτική παρατήρηση στο επόμενο σχήμα καθώς και στα προηγούμενα. - Συμπεράσματα:

: Σφαίρες 3.PNG (105.04 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

α) Οι τρεις σφαιρικές επιφάνειες τέμνονται σε δύο σημεία. Τα $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{O'}$ .

β) Οι τρεις σφαίρες τέμνουν το επίπεδο του τριγώνου κατά τρεις κύκλους $\displaystyle{C_1, C_2, C_3}$ ο καθένας από τους οποίους
διέρχεται από τις κορυφές κάθε πλευράς και από τα ίχνη των δύο υψών που αντιστοιχούν στις κορυφές αυτές.(Δείχνεται εύκολα- επιπεδομετρία). άρα:

γ) Τα επίπεδα τομής ανά δύο αυτών των σφαιρών που ορίζονται από τους τρεις σχεδιασμένους κύκλους $\displaystyle{(AOD), (BOE), (COZ)}$ ορίζουν τα τρία ύψη του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

δ) Τα επίπεδα αυτά της γ' περίπτωσης ως κάθετα στο επίπεδο του τριγώνου και ως διερχόμενα από το ίδιο σημείο $\displaystyle{O}$ τέμνονται κατά μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο
και διερχόμενη από το ορθόκεντρο $\displaystyle{H}$ του τριγώνου αυτού.
Δηλαδή: $\displaystyle{ OH \perp (ABC)}$

ε) Οι κύκλοι με διαμέτρους τα τρία ύψη είναι οι κύκλοι τομής των τριών σφαιρών.

Έτσι το τμήμα $\displaystyle{OH}$ υπολογίζεται εύκολα από ένα ορθογώνιο π.χ. το $\displaystyle{(ZOC)}$ το οποίο είναι γνωστό και συνεπώς το σημείο αυτό $\displaystyle{O}$ κατασκευάζεται.

: Σφαίρες 5.PNG (84.99 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

4ο) Τέλος η τρισορθογώνια γωνία $\displaystyle{O.ABC}$ καθώς και η συμμετρική της ως προς το επίπεδο $\displaystyle{O'.ABC}$ είναι εκείνες στις πλευρές των οποίων έχει οριστεί το δοθέν τρίγωνο.

Κώστας Δόρτσιος.

(Ίσως όμως τα πολλά σχήματα κουράζουν...)

S.E.Louridas · #5

Ένα αναγκαίο ευχαριστώ για την εκπληκτική διαδοχή των τέλειων σχημάτων προς στον Κώστα Δόρτσιο δεν φτάνει, είναι το ελάχιστο.
Εδώ σε τέτοιες περιπτώσεις φαίνεται ξεκάθαρα ότι η Γεωμετρία "αισθάνεται" πολύ-πολύ άνετα με τις νέες τεχνολογίες, άρα συμβαδίζει με την πρόοδο.
Συνεπώς όχι μόνο δεν κουράζεται κανείς, έχοντας τέτοιου είδους αισθητικές εμπειρίες αλλά θεωρώ ότι ενθουσιάζεται με τέτοιου είδους "παντρέματα".
Τώρα η κατασκευή του στο επίπεδο του δοθέντος τριγώνου είναι απλή και σαφής, επομένως και του . Έτσι έχουμε τα τμήματα , ίσα προς τα αντίστοιχα κατασκευασμένα.
Ας υπενθυμίσουμε ότι στις Γεωμετρικές κατασκευές επιδιώκουμε την κατά το δυνατό απλούστερη και ακριβή κατασκευή έστω και αν αυτή προέρχεται από εκτενή Ανάλυση και όχι την δύσκολη κατασκευή, έστω και αν αυτή πιθανόν να προέρχεται από λιτή Ανάλυση.
Η επίλυση τώρα από τον Κώστα του θέματος καταδεικνύει με έμφαση εκτός των άλλων και το εννιαίο της Μαθηματικής σκέψης.

Τμήσατε...

Τμήσατε...

Re: Τμήσατε...

Re: Τμήσατε...

Re: Τμήσατε...

Re: Τμήσατε...

Μέλη σε σύνδεση