Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

#1

Σε αυτό το χώρο θα προσπαθήσω λίγο λίγο να βάζω κάποιες ασκήσεις από ένα αγγλικό βιβλίο με τη σειρά που τις βρίσκω. Είναι το βιβλίο του David Monk, το οποίο και συνιστώ να αποκτήσετε , αν μπορείτε.Οι ασκήσεις δεν συνοδεύονται από λύσεις αλλά μόνο από πολύ σύντομες υποδείξεις. Δίνω σε ένα μαθητή μου της Β΄Λυκείου 2-3 ασκήσεις ανά εβδομάδα και τις λύνει για εξάσκηση, διότι του αρέσει πολύ η γεωμετρία.Δεν έχει ο .... δυστυχής όμως χρόνο, διότι δίνει δυο ξένες γλώσσες φέτος !
Θα ήθελα με την ευκαιρία αυτή να στείλω μήνυμα στη νέα ηγεσία του Υπουργείου Παιδείας (ποιος να το δει !) για να κοιτάξει να λύσει το θέμα των ξένων γλωσσών στη χώρα μας -πρωτίστως στα σχολεία - διότι έχει γίνει το μεγαλύτερο και ακριβότερο επιχειρηματικό κατεστημένο στη χώρα , που καταβροχθίζει όλο το χρόνο των μαθητών από τα 10 μέχρι τα 15 τους και καταστρέφει κάθε άλλη προσπάθεια για δημιουργικότητα !

Λοιπόν , στο θέμα μας :καλό είναι να συγκεντρώσουμε εδώ λυμένες όσες περισσότερες ασκήσεις μπορούμε.Η κατηγορία Ε περιέχει τις εύκολες ασκήσεις(όλες είναι για ολυμπιάδες βέβαια).

Δ.Μονκ, Ε-2

Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Οι εφαπτόμενες στα Α,Β τέμνονται στο Τ. Η παράλληλη από το Τ προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Δ. Να αποδειχθεί ότι ΔΑ=ΔΓ

ΛΥΣΗ
.............................................

#2

ΛΥΣΗ Ε - 2

καλημέρα σας
ας αρχίσω με την πρώτη άσκηση

: 4-11-2009 8-18-42 πμ.png (39.18 KiB) Προβλήθηκε 3767 φορές

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Θα ήθελα με την ευκαιρία αυτή να στείλω μήνυμα στη νέα ηγεσία του Υπουργείου Παιδείας (ποιος να το δει !) για να κοιτάξει να λύσει το θέμα των ξένων γλωσσών στη χώρα μας -πρωτίστως στα σχολεία - διότι έχει γίνει το μεγαλύτερο και ακριβότερο επιχειρηματικό κατεστημένο στη χώρα , που καταβροχθίζει όλο το χρόνο των μαθητών από τα 10 μέχρι τα 15 τους και καταστρέφει κάθε άλλη προσπάθεια για δημιουργικότητα !

Μπάμπη να περιμένεις μεγαλύτερη έμφαση στις ξένες γλώσσες αφού είναι η προτεραιότητα των Κυβερνήσεων (πρώην και νυν), οπότε καλό κουράγιο...

Περιμένουμε την δεύτερη άσκηση

papel · #4

κ.Στεργιου τα βιβλια του UKMT (United Kingdom Mathematical Trust) εχουν σαν σκοπο την υποστηριξη της μαθηματικης ομαδας της Αγγλιας στις Ολυμπιαδες.Φανταζομαι οτι εννοειται να ανεβασετε μερικες ενδεικτικες ασκησεις απο το βιβλιο ωστε να αποκτησουμε μια ιδεα.Επειδη εχω καποια απο αυτα θα συνιστουσα στους φιλους να τα αγορασουνε.Δεν ειναι δα και ακριβα μο=12Ευρα το καθενα.

#5

papel έγραψε:κ.Στεργιου τα βιβλια του UKMT (United Kingdom Mathematical Trust) εχουν σαν σκοπο την υποστηριξη της μαθηματικης ομαδας της Αγγλιας στις Ολυμπιαδες.Φανταζομαι οτι εννοειται να ανεβασετε μερικες ενδεικτικες ασκησεις απο το βιβλιο ωστε να αποκτησουμε μια ιδεα.Επειδη εχω καποια απο αυτα θα συνιστουσα στους φιλους να τα αγορασουνε.Δεν ειναι δα και ακριβα μο=12Ευρα το καθενα.

Λευτέρη, προφανώς !

Έχουμε κάνει και παλαιότερα σχετική κουβέντα στο mathematica, έχω δώσει ήδη και άλλη άσκηση από το βιβλίο και έχω αναφέρει τον εκδοτικό οίκο και το λόγο έκδοσης του βιβλίου, όπως σωστά έκανες και συ παραπάνω. Έτσι , έχουμε καταστήσει γνωστό το βιβλίο στο Ελληνικό αναγνωστικό κοινό με τον καλύτερο τρόπο και προφανώς έχουμε τιμήσει και τον συγγραφέα και το UKMT. Δεν τίθεται ζήτημα λοιπόν για το πόσες ασκήσεις θα μεταφέρουμε στην Ελληνική κοινότητα , μια και δεν προκειται να κάνουμε επίσημη μετάφραση , αλλά ούτε και να εξαντλήσουμε τα θέματα του βιβλίου. Αν έχετε επιφυλλάξεις , να σβήσουμε αμέσως το σχετικό topic , διότι ξέρετε ότι στα βιβλία, στους συγγραφείς και τους αναγνώστες τους τρέφω υπερβολική αγάπη(και σεις άλλωστε) και δε θα ήθελα από λάθος να βλάψουμε- έμμεσα ή άμμεσα -κανένα.
Αν μπορούσαμε να κάνουμε μια πλήρη λύση των καλύτερων των ασκήσεων -πολύ δύσκολη δουλειά πουσπάνια τελεσφορεί για ομαδικές πρωτοβουλίες - , θα ζητούσα από το συγγραφέα και τον εκδότη να μας δώσουν την έγκριση να φτιάξουμε ως mathematica ένα βιβλίο(όχι για εμπορικούς λόγους αλλά μόνο) σε μορφή pdf και να το έχουν οι έλληνες μαθητές που ασχολούνται με τις ολυμπιάδες.Θα προσπαθήσω να επικοινωνήσω με το συγγραφέα να δω τις προθέσεις του. Φυσικά το βιβλίο θα έχει τον τίτλο και το όνομα του συγγγραφέα .Αυτό δεν συζητιέται !!!
Μακάρι να είχε και κάποιο δικό μας ελληνικό βιβλίο την τιμή να μας ζητήσουν την άδειά μας για να το αποδώσουν σε άλλη γλώσσα.Θα τους .....πληρώναμε και από πάνω !
Αν έχεις χρόνο, βάλε και συ καμιά άσκηση σε συνέχεια αυτής εδώ. Ξέρεις ότι αυτές οι δουλειές δεν γίνονται από ένα άνθρωπο , αλλά συλλογικά. Αυτή τη συλλογικότητα προσπαθούμε να ενθαρρύνουμε στο mathematica !!!
Νομίζω ότι με 20 - 30 ασκήσεις δεν φρενάρουμε την εμπορική κίνηση του βιβλίου στο αγγλικό κοινό. Για το ελληνικό δεν το συζητάω, διότι χωρίς την δική μας αναφορά στο mathematica, ελάχιστοι θα το μάθαιναν και λιγότεροι θα το αγόραζαν.

(Έχω όλα τα βιβλία από το UKMT και αξίζει πραγματικά να βρίσκονται σε κάθε βιβλιοθήκη).

Μπάμπης

#6

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: [...] ασκήσεις από ένα αγγλικό βιβλίο με τη σειρά που τις βρίσκω. Είναι το βιβλίο του David Monk, το οποίο και συνιστώ να αποκτήσετε

Μου έλεγε την περασμένη βδομάδα κάποιος της UKMT (= η Αγγλική Μαθηματική Εταιρεία πίσω από τις εκει Μαθηματικές Ολυμπιάδες) ότι οι ασκήσεις στο παραπάνω βιβλίο είναι όλες προτότυπες, κατασκευασμένες από τον ίδιο τον συγγραφέα.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Μακάρι να είχε και κάποιο δικό μας ελληνικό βιβλίο την τιμή να μας ζητήσουν την άδειά μας για να το αποδώσουν σε άλλη γλώσσα.Θα τους .....πληρώναμε και από πάνω !

Μπάμπη, έχεις χαιρετίσματα από τον Francisco Bellot Rosado, τον Ισπανό που ξεκίνησε την Μεσογειακή Μαθηματική Ολυμπιάδα και επιστημονικό υπεύθυνο του εκεί "Καγκουρό".
Τον συνάντησα την περασμένη βδομάδα, στο Minsk.
Μεταξύ των άλλων μου έλεγε πόσο καλό εύρισκε το δικό σου βιβλίο Γεωμετρίας , που του έστειλες.
Άντε λοιπόν, μπορεί να κάνεις εσύ την αρχή να αποδοθεί στα ξένα ένα καλό ελληνικό βιβλίο Γεωμετρίας.

Στα τόσα χρόνια σκαλίσματος της βιβλιογραφίας, μόνο ένα νεοεληνικό βιβλίο Γεωμετρίας είδα να αναφέρεται από τους ξένους. Ήταν η πάλαι ποτέ εξαιρετική Γεωμετρία του Νείλου Σακελλαρίου. Την είχε σχολιάσει το Monthly την δεκαετία του '50, με πολύ θετική βιβλιοκριτική.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#7

Μιχάλη,
όταν σκέφτομαι τα ... τέρατα της γεωμετρικής σκέψης που είτε έχουν γράψει στο παρελθόν βιβλία γεωμετρίας(ελληνικά ή ξένα) είτε πρόκειται να γράψουν , δεν σου κρύβω ότι μάλλον ντρέπομαι που έχω καταπιαστεί με αυτό το χώρο !
Εϊμαι λοιπόν πολύ μικρός για να τολμήσω μετάφραση στα αγγλικά της Γεωμετρίας 3 , αν και μου το πρότεινε και ο Ιταλός trainer της ολυμπιπακής τους ομάδας Ercole Suppa.Μάλλον δεν καταλαβαίνουν Ελληνικά και για αυτό τα λένε αυτά

.

Θέλω όμως να σε ευχαριστήσω θερμά για τους χαιρετισμούς του κυρίου Bellot Rosado και τη θετική κριτική του που μου μεταφέρεις.
Καλή δύναμη για το νέο Καγκουρό και καλές εμπνεύσεις !!!

Μπάμπης

#8

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Θα ήθελα με την ευκαιρία αυτή να στείλω μήνυμα στη νέα ηγεσία του Υπουργείου Παιδείας (ποιος να το δει !) για να κοιτάξει να λύσει το θέμα των ξένων γλωσσών στη χώρα μας -πρωτίστως στα σχολεία - διότι έχει γίνει το μεγαλύτερο και ακριβότερο επιχειρηματικό κατεστημένο στη χώρα , που καταβροχθίζει όλο το χρόνο των μαθητών από τα 10 μέχρι τα 15 τους και καταστρέφει κάθε άλλη προσπάθεια για δημιουργικότητα ![/b]
Μπάμπη να περιμένεις μεγαλύτερη έμφαση στις ξένες γλώσσες αφού είναι η προτεραιότητα των Κυβερνήσεων (πρώην και νυν), οπότε καλό κουράγιο...

Περιμένουμε την δεύτερη άσκηση

Αχ ! Παίζεις με τον πόνο μου , αλλά ξέρω ότι σου αρέσει να με πειράζεις ! Με αυτη την μεγάλη απάτη-έτσι την αποκαλώ - των ξένων γλωσσών θέλω να δώσω μεγάλες μάχες. Να δω πότε θα έχω την ευκαιρία να αποδείξω σε αυτούς που πρέπει ότι όπως είναι καλοστημένη στη χώρα μας αυτή η μηχανή, στραγγίζει οικονομικά την οικογένεια, συνθλίβει τους μαθητές και ακυρώνει κάθε άλλη προσπάθεια.Διότι η εκμάθηση των ξένων γλωσσών πρέπει να μπει σε άλλη βάση, ώστε να πάρει το νόημα που της ταιριάζει.
Δεν πτοούμαι όμως γιατί έχω πολλούς συμμάχους !

Μπάμπης

#9

ΑΣΚΗΣΗ Ε-1

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τα μέσα Δ,Ε,Ζ των πλευρών ΒΓ , ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι γωνίες ΓΑΔ και ΑΒΕ είναι ίσες , αν και μόνο, αν οι γωνίες ΑΔΓ και ΒΖΓ είναι ίσες .

ΠΡΟΣΟΧΗ !

Διορθώθηκε ένα typo !

#10

ΛΥΣΗ

Στη διορθωμένη άσκηση Ε-1, λοιπόν, έχουμε:

Έστω

το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC

.

$\angle ABE=\angle DAC \iff \angle ABE=\angle ZDM \iff ZMDB\quad$ είναι εγγράψιμο $\iff \angle ZMB=\angle ZDB \iff \angle ZMB=\angle BCA \iff \angle BZM=\angle ADC$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#11

Μία λύση για την Ε-1

: E-1.png (6.64 KiB) Προβλήθηκε 3214 φορές

Έστω $\hat{A\Delta \Gamma }=\hat{BZ\Gamma }$
Αν Θ το βαρύκεντρο του ΑΒΓ, το ΒΔΘZ είναι εγγράψιμο, αφού η εξωτερική Δ είναι ίση με την απέναντι γωνία Ζ. Οπότε $\hat{ABE}=\hat{A\Delta Z}$
Όμως η ΔΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΑΒ, άρα είναι παράλληλη στην ΑΓ, οπότε οι εντός εναλλάξ $\hat{A\Delta Z}, \hat{\Gamma A\Delta }=$ είναι ίσες, άρα $\hat{ABE}=\hat{\Gamma A\Delta }$

Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ. Ως ένα σημείο η λύση είναι ίδια με τη λύση του Αχιλλέα στην παραπάνω δημοσίευση.

Ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία, αποδεικνύουμε το αντίστροφο σκέλος της ισοδυναμίας.

Edit: Διόρθωσα τα γράμματα στο τετράπλευρο: Αντί για Ε είναι Ζ. Ευχαριστώ τον Χρήστο Καρδάση.

#12

ΑΣΚΗΣΗ Ε -7

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με περίκεντρο Ο. Στην πλευρά ΑΓ (ή σε ανάγκη στην ημιευθεία ΑΓ) παίρνουμε σημείο Ρ και στην ευθεία ΒΑ (ή σε ανάγκη στην ημιευθεία ΒΑ) παίρνουμε σημείο Σ, έτσι ώστε τα τρίγωνα ΒΡΣ και ΑΒΓ να είναι όμοια( οι γωνίες Γ και ΒΣΡ είναι ίσες , όπως επίσης και οι γωνίες ΡΒΣ και ΒΑΓ). Να αποδειχθεί ότι το Ο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΡΣ.

Σχόλιο

Ευχαριστώ τον Αχιλλέα και το Γιώργο για τις περεμβάσεις τους.

Στο σχήμα μου , το Ρ είναι σημείο της πλευράς ΑΓ και το Σ βρίσκεται στην προέκταση της ΒΑ.
Έκανα και μια προσπάθεια να φτιάξω πρώτη φορά σχήμα με το geogebra. Κάτι βγήκε. Μέχρι τώρα τα φτιάχνω με το cabri.
Αλήθεια, πώς μπορώ να ονομάσω στο geogebra μια γωνία φ, ω κλπ πάνω στο σχήμα;

Μπάμπης

hsiodos · #13

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ Ε -7

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με περίκεντρο Ο. Στην πλευρά ΑΓ (ή σε ανάγκη στην ημιευθεία ΑΓ) παίρνουμε σημείο Ρ και στην ευθεία ΒΑ (ή σε ανάγκη στην ημιευθεία ΒΑ) παίρνουμε σημείο Σ, έτσι ώστε τα τρίγωνα ΒΡΣ και ΑΒΓ να είναι όμοια( οι γωνίες Γ και ΒΣΡ είναι ίσες , όπως επίσης και οι γωνίες ΡΒΣ και ΒΑΓ). Να αποδειχθεί ότι το Ο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΡΣ.

Μπάμπης

ΛΥΣΗ

Επειδή $\hat{PAB}=\hat{PBA}$ το Ρ βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Αν Μ το μέσο του ΑΒ η ΡΜ διέρχεται από το κέντρο Ο του περιγεγραμμένου στο ΑΒΓ κύκλου.
Φέρνουμε την ΒΟ που τέμνει την ΣΡ στο Δ. Αρκεί να δείξουμε ότι $\hat{B\Delta \Sigma }=90^o$ (για να είναι το Ο είναι το ορθόκεντρο του τρ ΒΣΡ).

Είναι $\hat{O_1}=\hat{\Gamma }=\hat{\Sigma }$

Από το τρ ΑΜΟ είναι:

$\displaystyle{ \hat O_1 + \hat A_1 = 90^o \Rightarrow \hat \Sigma + \hat A_1 = 90^o \mathop \Rightarrow \limits^{\hat {\rm A}_1 = \hat {\rm B}_2 } \,\,\,\,\hat \Sigma + \hat {\rm B}_2 = 90^o \Rightarrow \mathop {\Sigma \Delta {\rm B}}\limits^ \wedge = 90^o (\alpha \pi o\,\,\tau \rho \iota \gamma \omega \nu o\,\,\,{\rm B}\Delta \Sigma ) }$

Γιώργος

: -ορθόκεντρο;.png (19.53 KiB) Προβλήθηκε 3011 φορές

#14

ΑΣΚΗΣΗ Ε- 8

Πρόκειται για πολύ καλό θέμα , απαραίτητο σε κάθε μαθητή που ασχολείται με διαγωνισμούς.

Μπάμπης

lefteris mastoris · #15

ΙΒ,ΙΓ διχοτομοι και ΙΕΛΓ,ΙΔΚΒ εγγραψιμα....

Τα αλλα ειναι πολυ ευκολα!!!

hsiodos · #16

lefteris mastoris έγραψε:ΙΒ,ΙΓ διχοτομοι και ΙΕΛΓ,ΙΔΚΒ εγγραψιμα.... Τα αλλα ειναι πολυ ευκολα!!!

Ωραία άσκηση. Ένα από τα ενδιαφέροντα σημεία της είναι ότι τα κέντρα των τεσσάρων κύκλων (οι δύο του Λευτέρη , ο εγγεγραμμένος και ο ζητούμενος) είναι κορυφές παραλληλογράμμου. Ακόμη ότι ΒΔ ,ΓΕ , ΙΜ συντρέχουν.

Γιώργος

**** Επισυνάπτω και ένα σχήμα

: .png (53 KiB) Προβλήθηκε 2715 φορές

p_gianno · #17

Μια μικρή παραλλαγή

: bisectors.png (26.09 KiB) Προβλήθηκε 2689 φορές

dimitris pap · #18

Να κάνω και μια άλλη παρατήρηση στο συγκεκριμένο σχήμα!
Αν S,T

τα μέσα των AB, AC

αντιστοίχως (και

μέσο

) τότε
το Δ ανήκει στην

και το Ε στην

(γιατί?)

p_gianno · #19

dimitris pap έγραψε:Να κάνω και μια άλλη παρατήρηση στο συγκεκριμένο σχήμα!
Αν τα μέσα των αντιστοίχως (και μέσο ) τότε
το Δ ανήκει στην και το Ε στην (γιατί?)

#20

Μέχρι αυτό το σημείο οι ασκήσεις έχουν γραφεί και στο μήνυμα : 100 ασκήσεις γεωμετρίας. Παρακαλούνται οι εμπλεκόμενοι , όταν μπορέσουν , να επιμεληθούν τις λύσεις ή τις εκφωνήσεις. Γενικά, τα σχήματα να είναι ξεχωριστά από τις εκφωνήσεις και τις λύσεις. Αυτό διευκολύνει στις παρεμβάσεις μας.

Μπάμπης

Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Geometry, D.Monk, E-2

Re: Geometry, D.Monk, E-2

Re: Geometry, D.Monk, E-2

Re: Geometry, D.Monk, E-2

Re: Geometry, D.Monk, E-2

Re: Geometry, D.Monk, E-2

Re: Geometry, D.Monk, E-2

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Re: Νέες ασκήσεις γεωμετρίας

Μέλη σε σύνδεση