Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με ορθόκεντρο . Αν είναι τα μέσα των τόξων (που δεν περιέχουν άλλη κορυφή του τριγώνου) αντίστοιχα και τα συμμετρικά τους ως προς τις αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.Μιας και συνεχίζω την προσωπική μου εξιλέωση με την Γεωμετρία αυτές τις μέρες, θα προτείνω ελάχιστες ασκήσεις (λιγότερες από 10) οι οποίες έχουν ξαναπροταθεί στο και με βάση τα συμφραζόμενα παρουσίαζαν αυξημένο βαθμό δυσκολίας. Το κάνω για να κερδίσουμε ενδεχομένως σε λύσεις μιας και η Γεωμετρική παρέα του διαρκώς πληθαίνει.
Πρώτον θα παρακαλούσα να μην δώσετε παραπομπές προς τις λύσεις που ήδη έχουμε στο (θα τις δώσω εγώ μετά από εύλογο χρονικό διάστημα)
και δεύτερον θα προτιμούσα να ασχοληθούν μαζί της όσοι δεν τις έχουν ξαναπετύχει.
Γεωμετρία Δύσκολη (2)
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Γεωμετρία Δύσκολη (2)
Αντιγράφω από εδώ
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γεωμετρία Δύσκολη (2)
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με ορθόκεντρο . Αν είναι τα μέσα των τόξων (που δεν περιέχουν άλλη κορυφή του τριγώνου) αντίστοιχα και τα συμμετρικά τους ως προς τις αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.parmenides51 έγραψε:Αντιγράφω από εδώΜιας και συνεχίζω την προσωπική μου εξιλέωση με την Γεωμετρία αυτές τις μέρες, θα προτείνω ελάχιστες ασκήσεις (λιγότερες από 10) οι οποίες έχουν ξαναπροταθεί στο και με βάση τα συμφραζόμενα παρουσίαζαν αυξημένο βαθμό δυσκολίας. Το κάνω για να κερδίσουμε ενδεχομένως σε λύσεις μιας και η Γεωμετρική παρέα του διαρκώς πληθαίνει.
Πρώτον θα παρακαλούσα να μην δώσετε παραπομπές προς τις λύσεις που ήδη έχουμε στο (θα τις δώσω εγώ μετά από εύλογο χρονικό διάστημα)
και δεύτερον θα προτιμούσα να ασχοληθούν μαζί της όσοι δεν τις έχουν ξαναπετύχει.
Παρμενίδης καλημέρα !!!
Θέλω να σε συγχαρώ για την πρωτοβουλία σου αυτή και χαράς το κουράγιο σου να «σκαλίσεις» αυτά τα «διαμάντια» που έχουν συζητηθεί στο
Για την ιστορία να πω ότι η συγκεκριμένη άσκηση είναι η 1481 (σελίδα 394) (τελευταία άσκηση) από το βιβλίο επιπεδομετρία του Γιώργου Τσίντσιφα
Με ταλαιπώρησε ως μαθητή της δεκαετίας του 70 (για δύο ολόκληρους μήνες χωρίς αποτέλεσμα) και δεν ξέρω αν ο Φάκλαρης (από τους μεγαλύτερους γεωμέτρες των Αθηνών της εποχής εκείνης (δούλευε στο Φροντιστήριο Κύκλος (πίσω από την εκκλησούλα της Ζωοδόχου Πηγής (επί της Ακαδημίας) ) που μου είχε πει ότι γνώριζε τη λύση αλλά δεν μου την αποκάλυψε έλεγε αλήθεια!!!
Βέβαια σήμερα έχουμε απάντηση από το δικό μας «Σωτήρα» (συγνώμη Σωτήρη ήθελα να πω), στο θέμα όπως έχει τεθεί και έχει ξανατεθεί από εμένα και το Μιχάλη (Νάννο) και είχε μείνει αναπάντητο για ένα ολόκληρο χρόνο στο
Το ενδιαφέρον του προβλήματος είναι ότι ο περίκυκλος του έχει διάμετρο το τμήμα (με το ορθόκεντρο (όπως εσύ το έχεις σημειώσει) και το σημείο του τριγώνου (μια λύση που μου έδωσε (σε εμένα προσωπικά) ο Κώστας (Ρεκούμης))
Σε ευχαριστώ
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 927
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm
Re: Γεωμετρία Δύσκολη (2)
Καλησπέρα κ. parmenidis51 και κ. Στάθη. Το πρόβλημα είναι εξαιρετικό! Αλλάζω τα σημεία της εκφώνησης για ευκολία.
Η διατύπωση, λοιπόν, του προβλήματος είναι η εξής:
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με ορθόκεντρο . Αν τα μέσα των τόξων (που δεν περιέχουν άλλη κορυφή
του τριγώνου) αντίστοιχα και τα συμμετρικά τους ως προς τις αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι το είναι εγγράψιμο.
Απόδειξη: Έστω τα μέσω των αντίστοιχα. Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Ως γνωστόν το είναι το αντιδιαμετρικό
του στον . Άρα το είναι φανερά παρ/μο. Έστω ότι η μεσοκάθετος του τέμνει το στο . Παρατηρούμε ότι τα
ισοσκελή και είναι ίσα άρα και η μεσοκάθετος του είναι κάθετη στο .
Έστω η οξ. γωνία που σχηματίζει η μεσοκάθετος αυτή με το . Ισχύει .
Άρα η μεσοκάθετος του είναι η ευθεία που διέρχεται από το (με ) και σχηματίζει με την οξεία γωνία . Εντελώς όμοια προσδιορίζονται
οι μεσοκάθετοι των (κόκκινες ευθείες στο σχήμα), οι οποίες διέρχονται από τα αντίστοιχα.
Στο μεσοτρίγωνο φέρουμε τις εσ. διχοτόμους οι οποίες συντρέχουν στο . Προκύπτει επίσης εύκολα ότι τα και είναι ομοιόθετα
καθώς έχουν τις πλευρές τους ανά δύο παράλληλες. Παρατηρούμε ότι .
Συνεπώς η μεσοκάθετος του είναι παράλληλη στη (διχοτόμο) άρα λόγω των ομοιόθετων και αποτελεί
την ομόλογη ευθεία της άρα είναι διχοτόμος της . Ομοιώς αποδεικνύεται ότι και οι άλλες μεσοκάθετοι είναι διχοτόμοι στο .
Συνεπώς συντρέχουν στο έγκεντρο του τριγώνου αυτού. Τώρα το ζητούμενο είναι φανερό καθώς το ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το .
Η διατύπωση, λοιπόν, του προβλήματος είναι η εξής:
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με ορθόκεντρο . Αν τα μέσα των τόξων (που δεν περιέχουν άλλη κορυφή
του τριγώνου) αντίστοιχα και τα συμμετρικά τους ως προς τις αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι το είναι εγγράψιμο.
Απόδειξη: Έστω τα μέσω των αντίστοιχα. Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Ως γνωστόν το είναι το αντιδιαμετρικό
του στον . Άρα το είναι φανερά παρ/μο. Έστω ότι η μεσοκάθετος του τέμνει το στο . Παρατηρούμε ότι τα
ισοσκελή και είναι ίσα άρα και η μεσοκάθετος του είναι κάθετη στο .
Έστω η οξ. γωνία που σχηματίζει η μεσοκάθετος αυτή με το . Ισχύει .
Άρα η μεσοκάθετος του είναι η ευθεία που διέρχεται από το (με ) και σχηματίζει με την οξεία γωνία . Εντελώς όμοια προσδιορίζονται
οι μεσοκάθετοι των (κόκκινες ευθείες στο σχήμα), οι οποίες διέρχονται από τα αντίστοιχα.
Στο μεσοτρίγωνο φέρουμε τις εσ. διχοτόμους οι οποίες συντρέχουν στο . Προκύπτει επίσης εύκολα ότι τα και είναι ομοιόθετα
καθώς έχουν τις πλευρές τους ανά δύο παράλληλες. Παρατηρούμε ότι .
Συνεπώς η μεσοκάθετος του είναι παράλληλη στη (διχοτόμο) άρα λόγω των ομοιόθετων και αποτελεί
την ομόλογη ευθεία της άρα είναι διχοτόμος της . Ομοιώς αποδεικνύεται ότι και οι άλλες μεσοκάθετοι είναι διχοτόμοι στο .
Συνεπώς συντρέχουν στο έγκεντρο του τριγώνου αυτού. Τώρα το ζητούμενο είναι φανερό καθώς το ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το .
- Συνημμένα
-
- diskoligeometria2.png (83.8 KiB) Προβλήθηκε 2349 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 300
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 24, 2010 12:05 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Γεωμετρία Δύσκολη (2)
Νομίζω ότι προκύπτει απευθείας από το λήμμα ( είναι το αντίστροφο του ως προς αντιστροφή που έχει κέντρο και τυχαία ακτίνα): Έστω τρίγωνο και σημείο στο εσωτερικό του. Αν σημεία στις μεσοκαθέτους των αντίστοιχα, ώστε τα τετράπλευρα να είναι εγγράψιμα, τότε το είναι εγγράψιμο.
Η απόδειξη για το λήμμα αυτό έπεται από το γεγονός ότι είναι σημεία των πλευρών του που ανήκουν στις εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών , άρα από το θεώρημα Μενελάου είναι (και φυσικά το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) συνευθειακά.
Η απόδειξη για το λήμμα αυτό έπεται από το γεγονός ότι είναι σημεία των πλευρών του που ανήκουν στις εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών , άρα από το θεώρημα Μενελάου είναι (και φυσικά το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) συνευθειακά.
Λώλας Παναγιώτης
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Δύσκολη (2)
αφού πέρασε (σχεδόν) ένας μήνας
ας σχολιάσω πως το πρόβλημα είχε προταθεί στο αρχικά από τον Μιχάλη Νάννο,
παρέμεινε έναν χρόνο άλυτη παρά τις υποδείξεις που δόθηκαν αρχικά, επαναπροτάθηκε από τον Στάθη Κούτρα
και ο Σωτήρης Λουρίδας τότε την έλυσε, όπως έκανε και η νέα γενιά πριν ένα μηνα παραπάνω
το ιστορικό της : προτάθηκε για 2η φορά εδώ και για 1η εδώ (εδώ λύθηκε)
θα χαιρόμουν ιδιαίτερα να βλέπαμε κι άλλες λύσεις
Υ.Γ. Ούτε εδώ πιστεύω πως είναι τυχαία η λίστα των συμμετεχόντων.
ας σχολιάσω πως το πρόβλημα είχε προταθεί στο αρχικά από τον Μιχάλη Νάννο,
παρέμεινε έναν χρόνο άλυτη παρά τις υποδείξεις που δόθηκαν αρχικά, επαναπροτάθηκε από τον Στάθη Κούτρα
και ο Σωτήρης Λουρίδας τότε την έλυσε, όπως έκανε και η νέα γενιά πριν ένα μηνα παραπάνω
το ιστορικό της : προτάθηκε για 2η φορά εδώ και για 1η εδώ (εδώ λύθηκε)
θα χαιρόμουν ιδιαίτερα να βλέπαμε κι άλλες λύσεις
Υ.Γ. Ούτε εδώ πιστεύω πως είναι τυχαία η λίστα των συμμετεχόντων.
Re: Γεωμετρία Δύσκολη (2)
Τώρα διάβασα την παραπάνω συζήτηση!
Η λύση του Παναγιώτη νομίζω πώς χτυπάει στην καρδιά της άσκησης και την λύνει πολύ γρήγορα!!!
Όχι βέβαια ότι περίμενα κάτι λιγότερο από τον Παναγιώτη!
Η λύση του Παναγιώτη νομίζω πώς χτυπάει στην καρδιά της άσκησης και την λύνει πολύ γρήγορα!!!
Όχι βέβαια ότι περίμενα κάτι λιγότερο από τον Παναγιώτη!
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Δύσκολη (2)
Είναι πράγματι σημαντικότατο το μήνυμα που παίρνουμε όταν θαυμάζουμε Γεωμετρικές διαπραγματεύσεις επιπέδου όπως εκείνη του Γρηγόρη (Μεγάλο και σε συνεχή βάση Γεωμετρικό και Μαθηματικό ταλέντο) και του Παναγιώτη (Επίσης Μεγάλο και σε συνεχή βάση Γεωμετρικό και Μαθηματικό ταλέντο).
Το απόλυτο συμπέρασμα είναι ότι ΝΑΙ υπάρχει υψηλότατο Μαθηματικό Μέλλον στη Πατρίδα.
Το απόλυτο συμπέρασμα είναι ότι ΝΑΙ υπάρχει υψηλότατο Μαθηματικό Μέλλον στη Πατρίδα.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Γεωμετρία Δύσκολη (2)
Λίγο άκυρος χρονικά αλλά:Να δειχτεί το ίδιο για τυχαίες σεβιανές(ότι δηλαδή τα συμμετρικά των τομών τυχαίων σεβιανών του τριγώνου με τον κύκλο ως προς τις αντίστοιχες πλευρές σχηματίζουν κύκλο που περνάει από το ορθόκεντρο).Το πρόβλημα δεν είναι εύκολο,αλλά έχει ωραίες προεκτάσεις.(Δεν έχω δει τις όλες τις αποδείξεις στο mathematica της ειδικής περίπτωσης και το καταπόσο βασίζονται στις διχοτόμους..)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες