τελευταία 001: γεωμετρικός τόπος

parmenides51 · #1

Ξεκινώ μια σειρά δημοσιεύσεων ασκήσεων γεωμετρίας από γνωστά και λιγότερο γνωστά βιβλία,
που πετυχαίνω στις βόλτες μου στα παλαιοβιβλιοπωλεία ή στους πλανόδιους στον δρόμο
θα βάζω την τελευταία άσκηση επίπεδομετρίας και θα αναφέρω εαν την έχει λυμένη ή όχι
η πηγή θα αναφέρεται όταν κι εφόσον λυθεί . Θα τις βάζω όλες στον φάκελο Seniors.
Πιστεύω οτι είναι ένας διαφορετικός τρόπος να ακουστούν στο

και λιγότερο γνωστά ονόματα που έγραψαν έστω κι ένα βιβλίο κάποτε.
Ας δούμε λοιπόν την πρώτη άσκηση:

Δίνονται οι παράλληλες ευθείες $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ και σημείο $\displaystyle{S}$ εκτός αυτών.
Από το $\displaystyle{S}$ άγεται τυχαία ευθεία που τέμνει τις παράλληλες $\displaystyle{ (x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ στα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα.
Με διάμετρο την $\displaystyle{AB}$ σχεδιάζουμε κύκλο και από το $\displaystyle{S}$ άγονται οι εφαπτόμενες $\displaystyle{SC}$ και $\displaystyle{SD}$ προς αυτόν.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της τομής της ευθείας $\displaystyle{SAB}$ και της ευθείας $\displaystyle{CD}$ .

: last 001.png (50.53 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

edit
προσθήκη σχήματος

#2

Καλή χρονιά, με άγάπη και ειρήνη παντού στον κόσμο, χαρά και ευτυχία στις οικογένειές σας.

Έστω το σημείο $M\equiv SAB\cap CD$ του οποίου ζητάμε τον γεωμετρικό τόπο και ας είναι $P,\ Q,$ τα σημεία τομής των δοσμένων ευθειών $(x),\ (y)$ αντιστοίχως, από την δια του σημείου

κάθετη ευθεία επί αυτές.

H CD,

είναι η Πολική ευθεία του σημείου

ως προς τον μεταβλητό κύκλο έστω (K)

και άρα ισχύει $\displaystyle \frac{SA}{SB} = \frac{MA}{MB}\ \ \ ,(1)$

Δια του σημείου

έρνουμε την παράλληλη ευθεία έστω $(\varepsilon)$ , προς τις $(x)\parallel (y)$ , η οποία τέμνει την ΄σταθερή ευθεία SPQ,

στο σημείο έστω

Σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, από $(x)\parallel (y)\parallel (\varepsilon)$ προκύπτει ότι $\displaystyle \frac{SP}{SQ} = \frac{TP}{TQ}\ \ \ ,(2)$

Από (2)

συμπεράινεται ότι το σημείο

είναι σταθερό και άρα, ο γεωμετρικός τόπος του μεταβλητού σημείου

όπως ορίζεται στην εκφώνηση, είναι η σταθερή ευθεία $(\varepsilon),$ η οποία περνάει από το

και είναι παράλληλη προς τις δοσμένες ευθείες $(x)\parallel (y).$

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Στην καινούργια χρονιά, ξεκινάμε με τα εύκολα και βλέπουμε πως θα πάει στην συνέχεια.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

S.E.Louridas · #3

Βέβαια θα μπορούσαμε επίσης να πούμε:
$\displaystyle{\frac{{AM}} {{MB}} = \frac{{AC^2 }} {{BC^2 }}\mathop = \limits^{\left( {\vartriangle SAC \sim \vartriangle SBC} \right)} \frac{{AS^2 }} {{SC^2 }} = \frac{{AS^2 }} {{SA \cdot SB}} = \frac{{AS}} {{SB}},\;ct.}$

parmenides51 · #4

Η άσκηση είναι η 1119 (τελευταία στην τελευταία σελίδα) από το βιβλίο ''Ασκήσεις Γεωμετρίας'' του Ποθητού Σταυρόπουλου ,
από τα Φροντιστήρια Π.Σταυρόπουλου-Μ.Τσατσάκη, το οποίο περιέχει μόνο άλυτες ασκήσεις στην επιπεδομετρία
και έχει 172 σελίδες, χρονιά έκδοσης δεν αναφέρεται κάπου, παρά μόνο η πόλη Αθήνα.

Ένα σχήμα για τον Κώστα

parmenides51 έγραψε:Δίνονται οι παράλληλες ευθείες $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ και σημείο $\displaystyle{S}$ εκτός αυτών.
Από το $\displaystyle{S}$ άγεται τυχαία ευθεία που τέμνει τις παράλληλες $\displaystyle{ (x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ στα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα.
Με διάμετρο την $\displaystyle{AB}$ σχεδιάζουμε κύκλο και από το $\displaystyle{S}$ άγονται οι εφαπτόμενες $\displaystyle{SC}$ και $\displaystyle{SD}$ προς αυτόν.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της τομής της ευθείας $\displaystyle{SAB}$ και της ευθείας $\displaystyle{CD}$ .

: last 001 vittas.png (57.03 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

vittasko έγραψε:Έστω το σημείο $M\equiv SAB\cap CD$ του οποίου ζητάμε τον γεωμετρικό τόπο και ας είναι $P,\ Q,$ τα σημεία τομής των δοσμένων ευθειών $(x),\ (y)$ αντιστοίχως, από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί αυτές.

H είναι η Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον μεταβλητό κύκλο έστω και άρα ισχύει $\displaystyle \frac{SA}{SB} = \frac{MA}{MB}\ \ \ ,(1)$

Δια του σημείου φέρνουμε την παράλληλη ευθεία έστω $(\varepsilon)$ , προς τις $(x)\parallel (y)$ , η οποία τέμνει την σταθερή ευθεία στο σημείο έστω

Σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, από $(x)\parallel (y)\parallel (\varepsilon)$ προκύπτει ότι $\displaystyle \frac{SP}{SQ} = \frac{TP}{TQ}\ \ \ ,(2)$

Από συμπεράινεται ότι το σημείο είναι σταθερό και άρα, ο γεωμετρικός τόπος του μεταβλητού σημείου όπως ορίζεται στην εκφώνηση, είναι η σταθερή ευθεία $(\varepsilon),$ η οποία περνάει από το και είναι παράλληλη προς τις δοσμένες ευθείες $(x)\parallel (y).$

τελευταία 001: γεωμετρικός τόπος

τελευταία 001: γεωμετρικός τόπος

Re: τελευταία άσκηση 001: γεωμετρικός τόπος

Re: τελευταία 001: γεωμετρικός τόπος

Re: τελευταία άσκηση 001: γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση