τελευταία 002: κοινή εφαπτομένη + σταθερό γινόμενο

parmenides51 · #1

Συνεχίζοντας από εδώ ..

Δίνονται δυο σημεία $\displaystyle{A, A'}$ και δυο ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon),(\varepsilon ') }$ παράλληλες προς την $\displaystyle{AA' }$ και ισαπέχοντες εκατέρωθεν της $\displaystyle{AA'}$ .
α) Να δείξετε οτι σε κάθε σημείο $\displaystyle{P}$ της $\displaystyle{(\varepsilon) }$ αντιστοιχεί σημείο $\displaystyle{ P' }$ της $\displaystyle{(\varepsilon ')}$ τέτοιο ώστε η $\displaystyle{PP'}$ να εφάπτεται στον περίκυκλους των $\displaystyle{ PAA' , P'AA'}$ .
β) Να δείξετε οτι το γινόμενο των αποστάσεων των σημείων $\displaystyle{A,A'}$ από την ευθεία $\displaystyle{PP'}$ είναι σταθερό.

: last 002.png (136.7 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

#2

parmenides51 έγραψε:Συνεχίζοντας από εδώ ..

Δίνονται δυο σημεία $\displaystyle{A, A'}$ και δυο ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon),(\varepsilon ') }$ παράλληλες προς την $\displaystyle{AA' }$ και ισαπέχοντες εκατέρωθεν της $\displaystyle{AA'}$ .
α) Να δείξετε οτι σε κάθε σημείο $\displaystyle{P}$ της $\displaystyle{(\varepsilon) }$ αντιστοιχεί σημείο $\displaystyle{ P' }$ της $\displaystyle{(\varepsilon ')}$ τέτοιο ώστε η $\displaystyle{PP'}$ να εφάπτεται στον περίκυκλους των $\displaystyle{ PAA' , P'AA'}$ .
β) Να δείξετε οτι το γινόμενο των αποστάσεων των σημείων $\displaystyle{A,A'}$ από την ευθεία $\displaystyle{PP'}$ είναι σταθερό.

Το συνημμένο last 002.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

: Last002.png (31.09 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές

1. Για κάθε σημείο

της $(\varepsilon )$ γράφουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα A,P,A'

κι έστω

το κέντρο του . Η κάθετη στην

στο

, τέμνει την $(\varepsilon ')$ στο

και η

την

στο

. προφανώς το

είναι το μέσο του PP'

. Αφού τώρα
$M{P^2} = MA \cdot MA' \Rightarrow M{P'^2} = MA \cdot MA'$ και άρα η PP'

εφάπτεται και του κύκλο που διέρχεται από τα A,P',A'

στο

.
2. Φέρνουμε τις αποστάσεις $x = AS\,,y = A'Z$ των A,A'

από την ευθεία PP'

και την σταθερή απόσταση d = MT

του

από την $(\varepsilon )$ .
Τα ορθογώνια τρίγωνα SAM,ZA'M

είναι όμοια με το ορθογώνιο τρίγωνο TMP

και έτσι θα έχουμε:

$\dfrac{x}{d} = \dfrac{{MA}}{{MP}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\dfrac{y}{d} = \dfrac{{MA'}}{{MP}}$ , οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε :

$\dfrac{{xy}}{{{d^2}}} = \dfrac{{MA \cdot MA'}}{{M{P^2}}} = 1 \Rightarrow \boxed{xy = {d^2}}$

Φιλικά Νίκος

parmenides51 · #3

Η άσκηση είναι η 791 * (τελευταία στην τελευταία σελίδα) από το βιβλίο ''Γεωμετρία Μέρος Α- Επιπεδομετρία: Θεωρία - Ασκήσεις''
του Ιωάννη Γ. Παπαχρίστου από το Πολυτεχνειακό Φροντιστήριο Αθηνών, Αθήνα 1973.

Στο εσωτερικό του αποτελείται από δυο βιβλία , το 1ο ονομάζεται ''Γεωμετρία'' και περιέχει θεωρία και λυμένες σε 112 σελίδες.
το 2ο ονομάζεται ''Ασκήσεις Γεωμετρίας'' και περιέχει άλυτες σε 127 σελίδες.

* Με μολύβι υπάρχει σημειωμένη και μια δεύτερη αρίθμηση στην ίδια άσκηση στο αντίτυπο που έχω και είναι 695,
ενδεχομένως να είναι αρίθμηση από παλιότερη έκδοση.

τελευταία 002: κοινή εφαπτομένη + σταθερό γινόμενο

τελευταία 002: κοινή εφαπτομένη + σταθερό γινόμενο

Re: τελευταία 002: κοινή εφαπτομένη + σταθερό γινόμενο

Re: τελευταία 002: κοινή εφαπτομένη + σταθερό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση