τελευταία 003: κατασκευή ευθείας με μέγιστη γωνία

parmenides51 · #1

Συνεχίζοντας από εδώ ..

Δίνονται δυο παράλληλες ευθείες $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ και σημείο $\displaystyle{P}$ που δεν βρίσκεται μεταξύ των παραλλήλων .
Να σχεδιασθεί κοινή κάθετος των $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ σε τέτοια θέση ώστε να φαίνεται από το $\displaystyle{P}$ με την μεγαλύτερη δυνατή γωνία.

: last 003.png (27.46 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

#2

parmenides51 έγραψε:Συνεχίζοντας από εδώ ..

Δίνονται δυο παράλληλες ευθείες $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ και σημείο $\displaystyle{P}$ που δεν βρίσκεται μεταξύ των παραλλήλων .
Να σχεδιασθεί κοινή κάθετος των $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ σε τέτοια θέση ώστε να φαίνεται από το $\displaystyle{P}$ με την μεγαλύτερη δυνατή γωνία.

Το συνημμένο last 003.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

: last003.png (25.67 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

Ας δούμε μερικά από σταθερά δεδομένα του προβλήματος.
Οι παράλληλες ευθείες x,y

καθώς και η απόσταση τους . Επίσης η ευθεία $(\varepsilon )$ που είναι η μεσοπαράλληλος αυτών και η απόσταση

του

απ’ αυτήν.
Ο κύκλος λοιπόν (K,KA)

είναι σταθερός και τέμνει τις x,y

στα ζητούμενα A,B

αντίστοιχα.
Απόδειξη:
Η γωνία $A\widehat PB$ που το

βλέπει το

είναι ίση με την $\widehat \phi$ αφού και οι δύο είναι ίσες με το μισό της επίκεντρης γωνίας $A\widehat KB$ . Αν τώρα η $(\varepsilon )$ τέμνει την

στο

αυτό θα είναι μέσο του

και άρα το

είναι απόστημα , οπότε και κάθετο στην $(\varepsilon )$ .
Δηλαδή το

κάθετο στις παράλληλες ευθείες x,y

.
Για κάθε άλλη θέση A'B'

κάθετο τμήμα στις πιο πάνω ευθείες , αν τέμνει την $(\varepsilon )$ στο

,θα είναι $\widehat \theta < \widehat \phi$ . Πράγματι αν γράψουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα P,A',B'

και έχει κέντρο το

, τα ορθογώνια τρίγωνα $MAK\,\kappa \alpha \iota \,\,NA'L$ ενώ θα έχουν την από μια κάθετο πλευρά ίση ( AM = A'N

) θα είναι LA' = LP > KP = KA

.

parmenides51 · #3

εκ των υστέρων είδα οτι η παραπάνω άσκηση ήταν θέμα εξετάσεων του Μαθηματικού Αθηνών του 1950,
οπότε από την αρχική πηγή, θα δώσω άλλη άσκηση, και σαν λυθεί εκείνη, θα αναφέρω εδώ και την πηγή
δυστυχώς δεν το ανέφερε εκεί, για να αποφύγω να την προτείνω μεμονωμένα, τουλάχιστον κερδίσαμε μια ωραία λύση
και σε άλλο βιβλίο ήταν το τελευταίο από τα θέματα εξετάσεων χωρίς να ακολουθείται χρονολογική σειρά εκεί (!)

#4

parmenides51 έγραψε:Δίνονται δυο παράλληλες ευθείες $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ και σημείο $\displaystyle{P}$ που δεν βρίσκεται μεταξύ των παραλλήλων .
Να σχεδιασθεί κοινή κάθετος των $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ σε τέτοια θέση ώστε να φαίνεται από το $\displaystyle{P}$ με την μεγαλύτερη δυνατή γωνία.

Παραθέτω μια ακόμα ιδέα.

Σκεφτόμαστε το ακόλουθο σχήμα:

: Ελαχιστοποίηση γωνίας.PNG (35.5 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές

Θεωρούμε τη μεσοπαράλληλη $\displaystyle{(d)}$ των παραλλήλων $\displaystyle{x,y}$ και πάνω σ' αυτή ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{O}$ .

Στη συνέχεια γράφουμε κύκλο με κέντρο το σημείο $\displaystyle{O}$ που να διέρχεται από το σταθερό σημείο $\displaystyle{P}$ . Ο κύκλος αυτός είναι ο $\displaystyle{C(O,R)}$ .

Ακόμα φέρουμε την κάθετο προς τις παράλληλες αυτές ώστε να προκύψουν τα σημεία $\displaystyle{A_o, B_o, M_o}$ .

Είναι προφανές ότι ο κύκλος αυτός τέμνει τις παράλληλες $\displaystyle{x,y}$ κατά την κοινή των κάθετο $\displaystyle{AB}$ .

Ας μελετήσουμε τη συμπεριφορά της γωνίας που μας ενδιαφέρει, δηλαδή της $\displaystyle{\theta}$ .

Είναι:

$\displaystyle sin\theta =\frac{AB/2}{OB}\Rightarrow sin\theta =\frac{m}{2R}\ \ \ \(m=AB=ct)$

Για να μεγιστοποιηθεί η γωνία $\displaystyle{\theta}$ θα πρέπει να μεγιστοποιηθεί το $\displaystyle{sin\theta}$ (*) και για τούτο αρκεί να ελαχιστοποιηθεί ο παρονομαστής $\displaystyle{R}$

Για να συμβεί αυτό θα πρέπει η ακτίνα του κύκλου $\displaystyle{R}$ να λάβει την ελάχιστή της τιμή που είναι η κάθετος $\displaystyle{PM_o}$ .

Επομένως:

Γράφουμε τον κύκλο με κέντρο το σημείο $\displaystyle{M_o}$ και ακτίνα την $\displaystyle{PM_o}$ και αυτός θα ορίσει τη ζητούμενη κοινή κάθετη.(Δύο λύσεις)

(*) Αυτό συμβαίνει γιατί η συνάρτηση του ημιτόνου στο διάστημα $\displaystyle{[0,\pi/2]}$ είναι γνησίως αύξουσα και η ποσότητα $\displaystyle{m=ct}$ .

Κώστας Δόρτσιος

parmenides51 · #5

λύσεις σε ειδικές περιπτώσεις είδαμε στο παρελθόν εδώ κι εδώ

parmenides51 · #6

μιας και μου το ανέφερε ο Σωτήρης (Λουρίδας) σχετικό είναι και το πρόβλημα του αγάλματος
(πρόβλημα Muller ή Regiomontanus) το οποίο είδαμε εδώ, εδώ, εδώ, εδώ κι εδώ
ενώ στην άσκηση μας είναι σταθερή η κορυφή της γωνίας και κινείται το ευθύγραμμο τμήμα,
στο πρόβλημα του αγάλματος είναι σταθερό το ευθύγραμμο τμήμα και κινείται η κορυφή της γωνίας.

parmenides51 · #7

Η άσκηση είναι η 493 (τελευταία στο κεφάλαιο 8 από τα 8) από το βιβλίο του Στράτη Παπαδόπουλου
Γεωμετρία, μέρος Α, τόμος δεύτερος
Ιδιότητες Θέσεως Επιπεδομετρίας Ευκλείδειου χώρου
έχει 295 σελίδες κι εκδόθηκε το 1976 στην Αθήνα, εκδόσεις δεν αναφέρονται κάπου

Επειδή ήταν θέμα εξετάσεων, ξαναπρότεινα άλλη από το ίδιο βιβλίο,
την τελευταία άσκηση από το προηγούμενο κεφάλαιο εδώ (τελευταία 007)

τελευταία 003: κατασκευή ευθείας με μέγιστη γωνία

τελευταία 003: κατασκευή ευθείας με μέγιστη γωνία

Re: τελευταία 003: κατασκευή ευθείας με μέγιστη γωνία

Re: τελευταία 003: κατασκευή ευθείας με μέγιστη γωνία

Re: τελευταία 003: κατασκευή ευθείας με μέγιστη γωνία

Re: τελευταία 003: κατασκευή ευθείας με μέγιστη γωνία

Re: τελευταία 003: κατασκευή ευθείας με μέγιστη γωνία

Re: τελευταία 003: κατασκευή ευθείας με μέγιστη γωνία

Μέλη σε σύνδεση