τελευταία 004: γεωμετρικός τόπος τομής διαγωνίων τραπεζίου

[parmenides51]

Συνεχίζοντας από εδώ ..

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της τομής των διαγωνίων τραπεζίου,
του οποίου οι βάσεις είναι παράλληλες προς δοθείσα κατεύθυνση και
οι μη παράλληλες πλευρές περιέχονται στις πλευρές δοθείσης γωνίας .

last 004.png (28.23 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές

Υ.Γ. Είναι λυμένη, η περιεχόμενη λύση στο βιβλίο εφόσον δεν δοθεί, θα την αντιγράψω αναφέροντας και την πηγή της

[george visvikis]

Συνεχίζοντας από εδώ ..

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της τομής των διαγωνίων τραπεζίου,
του οποίου οι βάσεις είναι παράλληλες προς δοθείσα κατεύθυνση και
οι μη παράλληλες πλευρές περιέχονται στις πλευρές δοθείσης γωνίας .

Το συνημμένο last 004.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Υ.Γ. Είναι λυμένη, η περιεχόμενη λύση στο βιβλίο εφόσον δεν δοθεί, θα την αντιγράψω αναφέροντας και την πηγή της

004 Γεωμετρικός τόπος.png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές

Ανάλυση:Έστω τα μέσα των βάσεων του τραπεζίου.

Είναι , οπότε από το θεώρημα της δέσμης, τα σημεία είναι συνευθειακά.

Άρα η ευθεία διέρχεται από το μέσο οποιουδήποτε τμήματος έχει τα άκρα του στις πλευρές της δοθείσης γωνίας και είναι παράλληλο με τις βάσεις του τραπεζίου. Οπότε το σημείο ανήκει σε σταθερή ευθεία.

Κατασκευή: Από ένα σημείο μιας πλευράς της γωνίας φέρνουμε ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο προς τη δοθείσα κατεύθυνση που τέμνει την άλλη πλευρά της γωνίας στο σημείο . Αν είναι το μέσο του τμήματος , τότε η ημιευθεία είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. Η απόδειξη είναι απλή.

Αντίστροφο: Έστω ένα σημείο της ημιευθείας . Από το φέρνουμε ευθεία που τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία . Από το φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη δοθείσα κατεύθυνση που τέμνει την άλλη πλευρά της γωνίας στο και την ( σημείο της πλευράς της γωνίας). Το τετράπλευρο είναι τραπέζιο, είναι το σημείο το σημείο τομής των διαγωνίων του, οι μη παράλληλες πλευρές του βρίσκονται πάνω στις πλευρές της γωνίας , και οι βάσεις του έχουν σταθερή διεύθυνση.
Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ημιευθεία .

[parmenides51]

η λύση σου είναι απλούστερη από την δοθείσα εκεί


Η άσκηση είναι η 397 (τελευταία στο βιβλίο) από το βιβλίο των Λάζαρου Λάζου και Πέτρου Γ. Τόγκα
Ασκήσεις και Προβλήματα Γεωμετρίας
Συμπλήρωμα,
Μέθοδοι Λύσεως Γεωμετρικών Προβλημάτων,
Τόμος ΙΙΙ των Γεωμετρικών Τόπων και Κατασκευών
από τον Εκδοτικό Οίκο Ιωάννου Ν. Σιδέρη,
το οποίο περιέχει μόνο λυμένες ασκήσεις σε Επιπεδομετρία και Στερεομετρία
έχει 344 σελίδες κι εκδόθηκε το 1940